微积分学示例

$f (x) = 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x))$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int 8 \sec (x) \sec (x) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

解题步骤 3.2

乘以 $8 \sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 8 (\sec^{1} (x) \sec (x)) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

解题步骤 3.2.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 8 {\sec (x)}^{1 + 1} + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 8 \sec^{2} (x) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$\int 8 \sec^{2} (x) - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 \sec^{2} (x) d x + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$8 (\tan (x) + C) + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 7

由于 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 32$ 移到积分外。

$8 (\tan (x) + C) - 32 \int \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 8

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$8 (\tan (x) + C) - 32 (\sec (x) + C)$

解题步骤 9

化简。

$8 \tan (x) - 32 \sec (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x))$ 的不定积分。

$F (x) =$ $8 \tan (x) - 32 \sec (x) + C$

微积分学 示例

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