微积分学示例

$f (x) = 3 x^{6} - 2 x^{4} + 14 x^{2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 x^{6} - 2 x^{4} + 14 x^{2} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 x^{6} d x + \int - 2 x^{4} d x + \int 14 x^{2} d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{6} d x + \int - 2 x^{4} d x + \int 14 x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int - 2 x^{4} d x + \int 14 x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) - 2 \int x^{4} d x + \int 14 x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) - 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 14 x^{2} d x$

解题步骤 8

由于 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $14$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) - 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 14 \int x^{2} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) - 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 14 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{3 x^{7}}{7} - \frac{2 x^{5}}{5} + 14 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{3 x^{7}}{7} - \frac{2 x^{5}}{5} + 14 \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $14$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{3 x^{7}}{7} - \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{14 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{3}{7} x^{7} - \frac{2}{5} x^{5} + \frac{14}{3} x^{3} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 3 x^{6} - 2 x^{4} + 14 x^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{7} - \frac{2}{5} x^{5} + \frac{14}{3} x^{3} + C$

微积分学 示例

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