微积分学示例

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

解题步骤 3.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

解题步骤 3.1.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 10 x$ 。

$3 x^{2} + 10 x$

解题步骤 4

判断导数在 $(0, 3)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(0, 3)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(0, 3)$ 上可微，因为其导数在 $(0, 3)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[0, 3]$ 上连续，并且在 $(0, 3)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上连续，在 $(0, 3)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[0, 3]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

解题步骤 7.2.1.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 8

在区间 $[0, 3]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

解题步骤 8.2.1.3

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = 27 + 45$

解题步骤 8.2.2

将 $27$ 和 $45$ 相加。

$f (3) = 72$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $72$ 。

$72$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $72$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

解题步骤 9.1.2

化简分母。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

解题步骤 9.1.3

用 $72$ 除以 $3$ 。

$3 x^{2} + 10 x = 24$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $24$ 。

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

解题步骤 9.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 9.4

将 $a = 3$ 、 $b = 10$ 和 $c = - 24$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5

化简。

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解题步骤 9.5.1

化简分子。

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解题步骤 9.5.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ 。

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解题步骤 9.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 24$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.1.3

将 $100$ 和 $288$ 相加。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.1.4

将 $388$ 重写为 $2^{2} \cdot 97$ 。

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解题步骤 9.5.1.4.1

从 $388$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

解题步骤 9.5.3

化简 $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 9.6.1

化简分子。

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解题步骤 9.6.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ 。

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解题步骤 9.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 24$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.1.3

将 $100$ 和 $288$ 相加。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.1.4

将 $388$ 重写为 $2^{2} \cdot 97$ 。

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解题步骤 9.6.1.4.1

从 $388$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

解题步骤 9.6.3

化简 $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.6.5

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.6.6

从 $\sqrt{97}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

解题步骤 9.6.7

从 $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

解题步骤 9.6.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 9.7.1

化简分子。

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解题步骤 9.7.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ 。

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解题步骤 9.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 24$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.1.3

将 $100$ 和 $288$ 相加。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.1.4

将 $388$ 重写为 $2^{2} \cdot 97$ 。

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解题步骤 9.7.1.4.1

从 $388$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

解题步骤 9.7.3

化简 $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.7.5

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.7.6

从 $- \sqrt{97}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

解题步骤 9.7.7

从 $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

解题步骤 9.7.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 9.8

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

解题步骤 10

点 $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = 3$ 的直线平行。

解题步骤 11

点 $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = 3$ 的直线平行。

解题步骤 12

微积分学 示例

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