微积分学示例

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

解题步骤 6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

解题步骤 7.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

解题步骤 7.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 7.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

解题步骤 7.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

解题步骤 7.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

解题步骤 7.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

解题步骤 7.3.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

解题步骤 8.2

以因式分解的形式重写 $\frac{π + π}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

解题步骤 8.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.2.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 π}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

解题步骤 8.2.2.1.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

解题步骤 8.2.2.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $- 2$ 。

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

解题步骤 9.2

将负号移到分数的前面。

$A (x) = - \frac{2}{π}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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