微积分学示例

$\sqrt{x^{2} + 2} - x$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} + 2} - x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} - x$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $\sqrt{x^{2} + 2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} + 2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.8

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.9

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.11

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.13

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.14

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.16

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.2.17

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.3.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.4

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (2))))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.7

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.10

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.12

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.13

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.15

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x)}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.16

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.18

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.19

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.20

组合 $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.24

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.25

要将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.26

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.27

通过指数相加将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.27.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.27.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.27.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.28

化简 ${(x^{2} + 2)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.29

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.30

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.31

将 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.31.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.31.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.31.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.31.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.32

化简。

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.33

将 $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.34

将 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.35

通过指数相加将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.35.1

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.35.1.1

对 $x^{2} + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.35.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.35.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.35.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.2.35.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.1.2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} - x$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + 2 \geq 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} \geq - 2$

解题步骤 3.2.2

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 3.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

因为二阶导数是正数，所以图像向上凹。

图像向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例