微积分学示例

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $e^{x} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{x} - 1$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{x} - 1$ 。

$e^{x} - 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{x} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$e^{x} = 1$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

解题步骤 1.2.4

展开左边。

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解题步骤 1.2.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (1)$

解题步骤 1.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (1)$

解题步骤 1.2.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (1)$

解题步骤 1.2.5

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $e^{x} - x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$e^{0} - (0)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - (0)$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$1$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 1)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$e^{- 2} - (- 2)$

解题步骤 2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

解题步骤 2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

解题步骤 2.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$e^{2} - (2)$

解题步骤 2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{2} - 2$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(2, e^{2} - 2)$

最小绝对值： $(0, 1)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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