微积分学示例

$\int_{- 1}^{x^{2}} e^{t} + t^{3} d t$

解题步骤 1

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{- 1}^{x^{2}} e^{t} + t^{3} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] (e^{x^{2}} + {(x^{2})}^{3})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x (e^{x^{2}} + {(x^{2})}^{3})$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x (e^{x^{2}} + x^{2 \cdot 3})$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 x (e^{x^{2}} + x^{6})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$2 x e^{x^{2}} + 2 x \cdot x^{6}$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x^{6}$ 。

$2 x e^{x^{2}} + 2 (x^{6} x)$

解题步骤 3.2.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x e^{x^{2}} + 2 (x^{6} x^{1})$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x e^{x^{2}} + 2 x^{6 + 1}$

解题步骤 3.2.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$2 x e^{x^{2}} + 2 x^{7}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$2 x^{7} + 2 e^{x^{2}} x$

解题步骤 3.4

将 $2 x^{7} + 2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$2 x^{7} + 2 x e^{x^{2}}$

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