微积分学示例

$\int_{6 x}^{7 x} \frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1} d u$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{7 x} \frac{u^{2} - 1^{2}}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 2

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $6 x$ 和 $7 x$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u + \int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 3

根据加法法则， $\int_{6 x}^{c} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u + \int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 4

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{6 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 5

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{c}^{6 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [6 x] (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 6.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u]$

解题步骤 7

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{7 x} \frac{(u + 1) (u - 1)}{u^{2} + 1} d u$ 对 $x$ 的导数。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [7 x] \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + 7 \frac{d}{d x} [x] \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + 7 \cdot 1 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3

化简项。

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解题步骤 8.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 x)}^{2} + 1}) + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{{(6 (x))}^{2} + 1}) + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.3.1

对 $6 (x)$ 运用乘积法则。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{6^{2} x^{2} + 1}) + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.3.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (- \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1}) + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{(6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1}$ 。

$\frac{- 6 ((6 x + 1) (6 x - 1))}{36 x^{2} + 1} + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{((6) (6 x + 1)) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 x)}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.6

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{{(7 (x))}^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.7

化简表达式。

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解题步骤 8.3.7.1

对 $7 (x)$ 运用乘积法则。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{7^{2} x^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.7.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} + 7 \frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1}$

解题步骤 8.3.8

组合 $7$ 和 $\frac{(7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1}$ 。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} + \frac{7 ((7 x + 1) (7 x - 1))}{49 x^{2} + 1}$

解题步骤 9

要将 $- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{49 x^{2} + 1}{49 x^{2} + 1}$ 。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} \cdot \frac{49 x^{2} + 1}{49 x^{2} + 1} + \frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1}$

解题步骤 10

要将 $\frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{36 x^{2} + 1}{36 x^{2} + 1}$ 。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1} \cdot \frac{49 x^{2} + 1}{49 x^{2} + 1} + \frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1} \cdot \frac{36 x^{2} + 1}{36 x^{2} + 1}$

解题步骤 11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)$ 的形式。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1)}{36 x^{2} + 1}$ 乘以 $\frac{49 x^{2} + 1}{49 x^{2} + 1}$ 。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)} + \frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1} \cdot \frac{36 x^{2} + 1}{36 x^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

将 $\frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1)}{49 x^{2} + 1}$ 乘以 $\frac{36 x^{2} + 1}{36 x^{2} + 1}$ 。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)} + \frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(49 x^{2} + 1) (36 x^{2} + 1)}$

解题步骤 11.3

重新排序 $(49 x^{2} + 1) (36 x^{2} + 1)$ 的因式。

$- \frac{6 (6 x + 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)} + \frac{7 (7 x + 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 (6 x + 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1) + 7 (7 x + 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{(- 6 (6 x) - 6 \cdot 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1) + 7 (7 x + 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{(- 6 (6 x) - 6 \cdot 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.1.1

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{(- 36 x - 6 \cdot 1) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.1.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- 36 x - 6) (6 x - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 36 x - 6) (6 x - 1)$ 。

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解题步骤 13.3.1.2.1

运用分配律。

$\frac{(- 36 x (6 x - 1) - 6 (6 x - 1)) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.2.2

运用分配律。

$\frac{(- 36 x (6 x) - 36 x \cdot - 1 - 6 (6 x - 1)) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.2.3

运用分配律。

$\frac{(- 36 x (6 x) - 36 x \cdot - 1 - 6 (6 x) - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(- 36 \cdot 6 x \cdot x - 36 x \cdot - 1 - 6 (6 x) - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{(- 36 \cdot 6 (x \cdot x) - 36 x \cdot - 1 - 6 (6 x) - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(- 36 \cdot 6 x^{2} - 36 x \cdot - 1 - 6 (6 x) - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.1.3

将 $- 36$ 乘以 $6$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} - 36 x \cdot - 1 - 6 (6 x) - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} + 36 x - 6 (6 x) - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.1.5

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} + 36 x - 36 x - 6 \cdot - 1) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} + 36 x - 36 x + 6) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.2

从 $36 x$ 中减去 $36 x$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} + 0 + 6) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.3.3

将 $- 216 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(- 216 x^{2} + 6) (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 216 x^{2} + 6) (49 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 13.3.1.4.1

运用分配律。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2} + 1) + 6 (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.4.2

运用分配律。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2} + 1) + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.4.3

运用分配律。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.3.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{2} x^{2} - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.3.1.5.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 216 \cdot 49 (x^{2} x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{2 + 2} - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{4} - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.3

将 $- 216$ 乘以 $49$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 216 x^{2} \cdot 1 + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.4

将 $- 216$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 216 x^{2} + 6 (49 x^{2}) + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.5

将 $49$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 216 x^{2} + 294 x^{2} + 6 \cdot 1 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 216 x^{2} + 294 x^{2} + 6 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.5.2

将 $- 216 x^{2}$ 和 $294 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (7 (7 x) + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.6

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.6.1

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 x + 7 \cdot 1) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.6.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 x + 7) (7 x - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(49 x + 7) (7 x - 1)$ 。

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解题步骤 13.3.1.7.1

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 x (7 x - 1) + 7 (7 x - 1)) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.7.2

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 x (7 x) + 49 x \cdot - 1 + 7 (7 x - 1)) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.7.3

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 x (7 x) + 49 x \cdot - 1 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.3.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.8.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 \cdot 7 x \cdot x + 49 x \cdot - 1 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.3.1.8.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 \cdot 7 (x \cdot x) + 49 x \cdot - 1 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (49 \cdot 7 x^{2} + 49 x \cdot - 1 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.1.3

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (343 x^{2} + 49 x \cdot - 1 + 7 (7 x) + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (343 x^{2} - 49 x + 7 (7 x) + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.1.5

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (343 x^{2} - 49 x + 49 x + 7 \cdot - 1) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.1.6

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (343 x^{2} - 49 x + 49 x - 7) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.2

将 $- 49 x$ 和 $49 x$ 相加。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (343 x^{2} + 0 - 7) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.8.3

将 $343 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + (343 x^{2} - 7) (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(343 x^{2} - 7) (36 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 13.3.1.9.1

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 x^{2} (36 x^{2} + 1) - 7 (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.9.2

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 x^{2} (36 x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2} + 1)}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.9.3

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 x^{2} (36 x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.3.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.1.10.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 \cdot 36 x^{2} x^{2} + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.3.1.10.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 \cdot 36 (x^{2} x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 \cdot 36 x^{2 + 2} + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 343 \cdot 36 x^{4} + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.3

将 $343$ 乘以 $36$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 12348 x^{4} + 343 x^{2} \cdot 1 - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.4

将 $343$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 12348 x^{4} + 343 x^{2} - 7 (36 x^{2}) - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.5

将 $36$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 12348 x^{4} + 343 x^{2} - 252 x^{2} - 7 \cdot 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.1.6

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 12348 x^{4} + 343 x^{2} - 252 x^{2} - 7}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.1.10.2

从 $343 x^{2}$ 中减去 $252 x^{2}$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 12348 x^{4} + 91 x^{2} - 7}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.2

将 $- 10584 x^{4}$ 和 $12348 x^{4}$ 相加。

$\frac{1764 x^{4} + 78 x^{2} + 6 + 91 x^{2} - 7}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.3

将 $78 x^{2}$ 和 $91 x^{2}$ 相加。

$\frac{1764 x^{4} + 169 x^{2} + 6 - 7}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

解题步骤 13.3.4

从 $6$ 中减去 $7$ 。

$\frac{1764 x^{4} + 169 x^{2} - 1}{(36 x^{2} + 1) (49 x^{2} + 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例