微积分学示例

$\int_{6 x}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$

解题步骤 1

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $6 x$ 和 $7 x$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u + \int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u + \int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{6 x}^{c} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 3

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{6 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{c}^{6 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [6 x] (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 5.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u]$

解题步骤 6

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{7 x} \frac{u^{2} - 5}{u^{2} + 5} d u$ 对 $x$ 的导数。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + \frac{d}{d x} [7 x] \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \cdot 1 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3

化简项。

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解题步骤 7.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$6 (- \frac{{(6 x)}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- \frac{{(6 (x))}^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.3.1

对 $6 (x)$ 运用乘积法则。

$6 (- \frac{6^{2} x^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.3.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{{(6 x)}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.4

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{{(6 (x))}^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.5

化简表达式。

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解题步骤 7.3.5.1

对 $6 (x)$ 运用乘积法则。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{6^{2} x^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.5.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (- \frac{36 x^{2} - 5}{36 x^{2} + 5}) + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \frac{36 x^{2} - 5}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.6

组合 $- 6$ 和 $\frac{36 x^{2} - 5}{36 x^{2} + 5}$ 。

$\frac{- 6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 x)}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.8

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{{(7 (x))}^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.9

化简表达式。

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解题步骤 7.3.9.1

对 $7 (x)$ 运用乘积法则。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{7^{2} x^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.9.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{{(7 x)}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.10

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{{(7 (x))}^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.11

化简表达式。

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解题步骤 7.3.11.1

对 $7 (x)$ 运用乘积法则。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{7^{2} x^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.11.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + 7 \frac{49 x^{2} - 5}{49 x^{2} + 5}$

解题步骤 7.3.12

组合 $7$ 和 $\frac{49 x^{2} - 5}{49 x^{2} + 5}$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$

解题步骤 8

要将 $- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5}$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} \cdot \frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$

解题步骤 9

要将 $\frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5} \cdot \frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5} \cdot \frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$

解题步骤 10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)$ 的形式。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{6 (36 x^{2} - 5)}{36 x^{2} + 5}$ 乘以 $\frac{49 x^{2} + 5}{49 x^{2} + 5}$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)} + \frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5} \cdot \frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{7 (49 x^{2} - 5)}{49 x^{2} + 5}$ 乘以 $\frac{36 x^{2} + 5}{36 x^{2} + 5}$ 。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)} + \frac{7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(49 x^{2} + 5) (36 x^{2} + 5)}$

解题步骤 10.3

重新排序 $(49 x^{2} + 5) (36 x^{2} + 5)$ 的因式。

$- \frac{6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)} + \frac{7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 11

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 (36 x^{2} - 5) (49 x^{2} + 5) + 7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{(- 6 (36 x^{2}) - 6 \cdot - 5) (49 x^{2} + 5) + 7 (49 x^{2} - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{(- 6 (36 x^{2}) - 6 \cdot - 5) (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3

化简分子。

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解题步骤 12.3.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.1.1

将 $36$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} - 6 \cdot - 5) (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{(- 216 x^{2} + 30) (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 216 x^{2} + 30) (49 x^{2} + 5)$ 。

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解题步骤 12.3.1.2.1

运用分配律。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2} + 5) + 30 (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.2.2

运用分配律。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2} + 5) + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.2.3

运用分配律。

$\frac{- 216 x^{2} (49 x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{2} x^{2} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.1.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 216 \cdot 49 (x^{2} x^{2}) - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{2 + 2} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 216 \cdot 49 x^{4} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.3

将 $- 216$ 乘以 $49$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 216 x^{2} \cdot 5 + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 216$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 1080 x^{2} + 30 (49 x^{2}) + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.5

将 $49$ 乘以 $30$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 1080 x^{2} + 1470 x^{2} + 30 \cdot 5 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.1.6

将 $30$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} - 1080 x^{2} + 1470 x^{2} + 150 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.3.2

将 $- 1080 x^{2}$ 和 $1470 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + (7 (49 x^{2}) + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.4

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.4.1

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + (343 x^{2} + 7 \cdot - 5) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.4.2

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + (343 x^{2} - 35) (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(343 x^{2} - 35) (36 x^{2} + 5)$ 。

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解题步骤 12.3.1.5.1

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 x^{2} (36 x^{2} + 5) - 35 (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.5.2

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 x^{2} (36 x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2} + 5)}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.5.3

运用分配律。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 x^{2} (36 x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.3.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 x^{2} x^{2} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.1.6.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 (x^{2} x^{2}) + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 x^{2 + 2} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 343 \cdot 36 x^{4} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.3

将 $343$ 乘以 $36$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 343 x^{2} \cdot 5 - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.4

将 $5$ 乘以 $343$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 1715 x^{2} - 35 (36 x^{2}) - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.5

将 $36$ 乘以 $- 35$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 1715 x^{2} - 1260 x^{2} - 35 \cdot 5}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.1.6

将 $- 35$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 1715 x^{2} - 1260 x^{2} - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.1.6.2

从 $1715 x^{2}$ 中减去 $1260 x^{2}$ 。

$\frac{- 10584 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 12348 x^{4} + 455 x^{2} - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.2

将 $- 10584 x^{4}$ 和 $12348 x^{4}$ 相加。

$\frac{1764 x^{4} + 390 x^{2} + 150 + 455 x^{2} - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.3

将 $390 x^{2}$ 和 $455 x^{2}$ 相加。

$\frac{1764 x^{4} + 845 x^{2} + 150 - 175}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

解题步骤 12.3.4

从 $150$ 中减去 $175$ 。

$\frac{1764 x^{4} + 845 x^{2} - 25}{(36 x^{2} + 5) (49 x^{2} + 5)}$

微积分学 示例

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