微积分学示例

$x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = y^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $y^{- \frac{1}{3}} = x$ 。

$y^{- \frac{1}{3}} = x$

解题步骤 2.2

将方程两边同时进行 $- 3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3

化简指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

化简 ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1

将 ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.1.1.1.2.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.1.1.1.2.3

约去公因数。

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.1.1.1.2.4

重写表达式。

$y^{- 1 \cdot - 1} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.1.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{1} = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.1.1.2

化简。

$y = x^{- 3}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 是否为 $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}})$ 。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{{(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 4.2.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

将 ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- \frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

解题步骤 4.2.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = 1 x$

解题步骤 4.2.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{x^{3}})$ 。

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(\frac{1}{x^{3}})}^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3.3

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3.4

将 ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.3.4.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.3.4.2.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 为 $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$

微积分学 示例

微积分学示例