微积分学示例

$y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1

将 $y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{3} (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 2.1.2.1.2

$\log_{3} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (3)}$ 。

$1 + \frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 2.1.2.1.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 2.1.2.2

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.1.2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.2.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x)$

解题步骤 2.1.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ 。

$1 + \frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)} x$

解题步骤 2.1.2.7

组合 $\frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ 和 $x$ 。

$1 + \frac{2 x}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$

解题步骤 2.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$1 + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

解题步骤 2.1.3.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)} + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

解题步骤 2.1.3.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3) + 2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

解题步骤 2.1.3.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ 且 $g (x) = x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)] - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

根据加法法则， $x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.2

因为 $\ln (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} \ln (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.4

将 $2$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.8

因为 $5 \ln (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \ln (3)$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + 0) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.9

将 $2 \ln (3) x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.10

根据加法法则， $x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.11

因为 $\ln (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} \ln (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.13

将 $2$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.14

因为 $5 \ln (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \ln (3)$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 0)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.15

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.15.1

将 $2 \ln (3) x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) + (- 2 (x^{2} \ln (3)) - 2 (2 x) - 2 (5 \ln (3))) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (3)$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (3^{5})) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.1.2

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3)$ 。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (3^{2}) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x + 2) + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.4.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3)$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3^{2}) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.4

乘以 $\ln (243) \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.4.4.1

将 $\ln (243)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + 2 \cdot \ln (243) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \cdot \ln (243)$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (243^{2}) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4.5

对 $243$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x \cdot x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1} x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1 + 2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{3} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (3)$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (3^{2})) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1.8.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 (x \cdot x)) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x^{2}) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 4 x^{2} \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (3)$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (3^{4})) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.11

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.12

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (3)$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (3^{5}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.13

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (243) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.14

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (243)$ 。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (243^{2}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.15

对 $243$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.2

合并 $x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.2.1

按照 $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ 和 $x^{3} (- \ln (9)) \ln (3)$ 重新排列因数。

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.2.2

从 $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ 中减去 $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ 。

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + 0 + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.2.3

将 $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3.3

将 $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) + \ln (59049) - x^{2} \ln (81) - x \ln (59049) \ln (3)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

移动 $x \ln (243) \ln (9)$ 。

$x^{2} \ln (9) - x^{2} \ln (81) + x \ln (243) \ln (9) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

解题步骤 3.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.3

将 $a = \ln (9) - \ln (81)$ 、 $b = \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)$ 和 $c = \ln (59049)$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049))}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

运用分配律。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.2

乘以 $- (- \ln (3) \ln (59049))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.2.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.3

将 ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ 重写为 $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.4.1

运用分配律。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.4.2

运用分配律。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.4.3

运用分配律。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1.1

通过指数相加将 $\ln (243)$ 乘以 $\ln (243)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1.1.1

移动 $\ln (243)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.1.2

将 $\ln (243)$ 乘以 $\ln (243)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.2

通过指数相加将 $\ln (9)$ 乘以 $\ln (9)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1.2.1

移动 $\ln (9)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) (\ln (9) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.2.2

将 $\ln (9)$ 乘以 $\ln (9)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.4

通过指数相加将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1.4.1

移动 $\ln (3)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.4.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5

通过指数相加将 $\ln (59049)$ 乘以 $\ln (59049)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1.5.1

移动 $\ln (59049)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) (\ln (59049) \ln (59049)) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.2

将 $\ln (59049)$ 乘以 $\ln (59049)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.6

乘以 $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + 1 \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.1.6.2

将 $\ln^{2} (3)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.2

移动 $\ln (3)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) - 1 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.5.3

从 $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ 中减去 $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.6

运用分配律。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) - 4 (- \ln (81))) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) + 4 \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.4.8

运用分配律。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.5.1

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.2

从 $- \ln (243) \ln (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.3

从 $\ln (3) \ln (59049)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.4

从 $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.5

从 $\sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.6

从 $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.7

将 $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ 重写为 $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ 。

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.5.8

将负号移到分数的前面。

解题步骤 3.3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.1

运用分配律。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.1.2

乘以 $- (- \ln (3) \ln (59049))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.1.2.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.1.3

将 ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ 重写为 $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ 。

解题步骤 3.3.6.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.4.1

运用分配律。

解题步骤 3.3.6.1.4.2

运用分配律。

解题步骤 3.3.6.1.4.3

运用分配律。

解题步骤 3.3.6.1.5

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1.1

通过指数相加将 $\ln (243)$ 乘以 $\ln (243)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1.1.1

移动 $\ln (243)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.1.2

将 $\ln (243)$ 乘以 $\ln (243)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.2

通过指数相加将 $\ln (9)$ 乘以 $\ln (9)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1.2.1

移动 $\ln (9)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.2.2

将 $\ln (9)$ 乘以 $\ln (9)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.3

使用乘法的交换性质重写。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.4

通过指数相加将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1.4.1

移动 $\ln (3)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.4.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.5

通过指数相加将 $\ln (59049)$ 乘以 $\ln (59049)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1.5.1

移动 $\ln (59049)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.5.2

将 $\ln (59049)$ 乘以 $\ln (59049)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.6

乘以 $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1.5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.1.6.2

将 $\ln^{2} (3)$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.2

移动 $\ln (3)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.5.3

从 $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ 中减去 $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ 。

解题步骤 3.3.6.1.6

运用分配律。

解题步骤 3.3.6.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

解题步骤 3.3.6.1.8

运用分配律。

解题步骤 3.3.6.2

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.3

从 $- \ln (243) \ln (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.4

从 $\ln (3) \ln (59049)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.5

从 $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.6

从 $- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

解题步骤 3.3.6.7

从 $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.8

将 $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ 重写为 $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ 。

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.6.9

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 3.3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}, - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- 2.23606797$ 代入 $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 2.23606797$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2.23606797) = (- 2.23606797) + \log_{3} ({(- 2.23606797)}^{2} + 5)$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $- 2.23606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (10)$

解题步骤 4.1.2.1.3

$10$ 的底数 $3$ 约为 $2.09590327$ 。

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + 2.09590327$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 2.23606797$ 和 $2.09590327$ 相加。

$f (- 2.23606797) = - 0.1401647$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 0.1401647$ 。

$- 0.1401647$

解题步骤 4.2

通过将 $- 2.23606797$ 代入 $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ 中求得的点为 $(- 2.23606797, - 0.1401647)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2.23606797, - 0.1401647)$

解题步骤 4.3

将 $2.23606797$ 代入 $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $2.23606797$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.23606797) = (2.23606797) + \log_{3} ({(2.23606797)}^{2} + 5)$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

对 $2.23606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (10)$

解题步骤 4.3.2.1.3

$10$ 的底数 $3$ 约为 $2.09590327$ 。

$f (2.23606797) = 2.23606797 + 2.09590327$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2.23606797$ 和 $2.09590327$ 相加。

$f (2.23606797) = 4.33197125$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $4.33197125$ 。

$4.33197125$

解题步骤 4.4

通过将 $2.23606797$ 代入 $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ 中求得的点为 $(2.23606797, 4.33197125)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2.23606797, 4.33197125)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2.23606797) \cup (- 2.23606797, 2.23606797) \cup (2.23606797, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2.23606797)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2.33606797$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{{(- 2.33606797)}^{2} \ln (9) + (- 2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5.45721359 \ln (9)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $9$ 进行 $5.45721359$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2.33606797 \ln (243)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $243$ 进行 $2.33606797$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6

对 $- 2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $5.45721359$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.8

将 $- 5.45721359$ 乘以 $\ln (81)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.9

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2.33606797 \ln (3)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10

对 $3$ 进行 $2.33606797$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.11

从 $\ln (161252.03194789)$ 中减去 $23.98144767$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- \ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.12

从 $- \ln (374057.54800345) \ln (9)$ 中减去 $11.99072383$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 40.18587201 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.13

将 $- 40.18587201$ 和 $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ 相加。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.14

将 $- 11.99072383$ 和 $\ln (59049)$ 相加。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $- 2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5.45721359 \ln (3)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $3$ 进行 $5.45721359$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (3)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

解题步骤 6.2.2.7

将 $401.56199016$ 乘以 $243$ 。

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

解题步骤 6.2.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

解题步骤 6.2.5

$97579.56361088$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $11.48842336$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

解题步骤 6.2.6

对 $11.48842336$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

解题步骤 6.2.7

用 $1.00460094$ 除以 $131.98387132$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

解题步骤 6.2.8

将 $- 1$ 乘以 $0.00761154$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - 0.00761154$

解题步骤 6.2.9

最终答案为 $- 0.00761154$ 。

$- 0.00761154$

解题步骤 6.3

在 $- 2.33606797$ ，二阶导数为 $- 0.00761154$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 2.23606797)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 2.23606797)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 2.23606797, 2.23606797)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} \ln (9) + (0) \ln (243) \ln (9) - {(0)}^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(0)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 \ln (9) + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\ln (9)$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $0$ 乘以 $\ln (243)$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $0$ 乘以 $\ln (9)$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $0$ 乘以 $\ln (81)$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.8

将 $0$ 乘以 $\ln (3)$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.9

将 $0$ 乘以 $\ln (59049)$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.13

将 $0$ 和 $\ln (59049)$ 相加。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 乘以 $\ln (3)$ 。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (3)$ 。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (3^{5}))}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (243))}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5

将 $0$ 和 $\ln (243)$ 相加。

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$ 。

$\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

解题步骤 7.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $0.36409569$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 2.23606797, 2.23606797)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2.23606797, 2.23606797)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(2.23606797, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.33606797$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{{(2.33606797)}^{2} \ln (9) + (2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(2.33606797)}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

对 $2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5.45721359 \ln (9)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $9$ 进行 $5.45721359$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2.33606797 \ln (243)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.5

对 $243$ 进行 $2.33606797$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6

对 $2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $5.45721359$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8

将 $- 5.45721359$ 乘以 $\ln (81)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2.33606797 \ln (3)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.10

对 $3$ 进行 $2.33606797$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11

从 $\ln (161252.03194789)$ 中减去 $23.98144767$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.12

从 $\ln (374057.54800345) \ln (9)$ 中减去 $11.99072383$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{16.20442434 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.13

从 $16.20442434$ 中减去 $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.14

将 $- 11.99072383$ 和 $\ln (59049)$ 相加。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

对 $2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5.45721359 \ln (3)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $3$ 进行 $5.45721359$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (3)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.5

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

解题步骤 8.2.2.7

将 $401.56199016$ 乘以 $243$ 。

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

解题步骤 8.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

解题步骤 8.2.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

解题步骤 8.2.5

$97579.56361088$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $11.48842336$ 。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

解题步骤 8.2.6

对 $11.48842336$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

解题步骤 8.2.7

用 $1.00460094$ 除以 $131.98387132$ 。

$f'' (2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

解题步骤 8.2.8

将 $- 1$ 乘以 $0.00761154$ 。

$f'' (2.33606797) = - 0.00761154$

解题步骤 8.2.9

最终答案为 $- 0.00761154$ 。

$- 0.00761154$

解题步骤 8.3

在 $2.33606797$ ，二阶导数为 $- 0.00761154$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(2.23606797, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(2.23606797, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$ 。

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例