微积分学示例

$f (x) = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$ 。

$x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 9 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.3

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(u)}^{3} - 9 u = 0$

解题步骤 1.2.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

去掉圆括号。

$u^{3} - 9 u = 0$

解题步骤 1.2.4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $u^{3} - 9 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

从 $u^{3}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u^{2} - 9 u = 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

从 $- 9 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 9 = 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

从 $u \cdot u^{2} + u \cdot - 9$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u^{2} - 9) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$u (u^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.4.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 3$ 。

$u ((u + 3) (u - 3)) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3.2

去掉多余的括号。

$u (u + 3) (u - 3) = 0$

解题步骤 1.2.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

解题步骤 1.2.4.4

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 1.2.4.5

将 $u + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1

将 $u + 3$ 设为等于 $0$ 。

$u + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$u = - 3$

解题步骤 1.2.4.6

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 1.2.4.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 1.2.4.7

最终解为使 $u (u + 3) (u - 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, - 3, 3$

解题步骤 1.2.5

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = 0, - 3, 3$

解题步骤 1.2.6

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.2.6.2

化简指数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{3}$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2

化简。

$x = 0^{3}$

解题步骤 1.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.7

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{3}} = - 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 1.2.7.2

化简指数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 1.2.7.2.1.1.2

化简。

$x = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 1.2.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - 27$

解题步骤 1.2.8

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{3}} = 3$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

解题步骤 1.2.8.2

化简指数。

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解题步骤 1.2.8.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.8.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.8.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.8.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

解题步骤 1.2.8.2.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

解题步骤 1.2.8.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 3^{3}$

解题步骤 1.2.8.2.1.1.2

化简。

$x = 3^{3}$

解题步骤 1.2.8.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.8.2.2.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = 27$

解题步骤 1.2.9

列出所有解。

$x = 0, - 27, 27$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 - 9 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.3

化简 $(0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$y = 0 - 9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.2.3.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1

约去公因数。

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.2.3.1.3.2

重写表达式。

$y = 0 - 9 \cdot 0^{1}$

解题步骤 2.2.3.1.4

计算指数。

$y = 0 - 9 \cdot 0$

解题步骤 2.2.3.1.5

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0$

解题步骤 2.2.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, 0)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

y 轴截距： $(0, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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