微积分学示例

$k^{2} (2 k + 3) + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 k^{2} k + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1.3

将 $3$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$2 k^{2} k + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.4.1

移动 $k$ 。

$2 (k \cdot k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1.4.2

将 $k$ 乘以 $k^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (k^{1} k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 k^{1 + 2} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 k^{3} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

解题步骤 2

化简 ${(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(k + 1)}^{2}$ 重写为 $(k + 1) (k + 1)$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k + 1) (k + 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(k + 1) (k + 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k (k + 1) + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.3.1.3

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.3.2

将 $k$ 和 $k$ 相加。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$

解题步骤 2.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5

化简项。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.2

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

移动 $k$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $k$ 乘以 $k^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.2.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.3

将 $5$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 \cdot k^{2} + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.5

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 2.5.1.5.1

移动 $k$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.5.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.7

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.8

将 $2 k$ 乘以 $1$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 1 \cdot 5$

解题步骤 2.5.1.9

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

解题步骤 2.5.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $5 k^{2}$ 和 $4 k^{2}$ 相加。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

解题步骤 2.5.2.2

将 $10 k$ 和 $2 k$ 相加。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 12 k + 5$

解题步骤 3

将所有包含 $k$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $2 k^{3}$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} = 9 k^{2} + 12 k + 5$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $9 k^{2}$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} = 12 k + 5$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $12 k$ 。

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.4

合并 $2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 k^{3}$ 中减去 $2 k^{3}$ 。

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 + 0 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.4.2

将 $3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1$ 和 $0$ 相加。

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1

将 ${(k + 1)}^{2}$ 重写为 $(k + 1) (k + 1)$ 。

$3 k^{2} + 6 ((k + 1) (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(k + 1) (k + 1)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

运用分配律。

$3 k^{2} + 6 (k (k + 1) + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.2.2

运用分配律。

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.2.3

运用分配律。

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.3.1.2

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.3.1.3

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.3.2

将 $k$ 和 $k$ 相加。

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + 2 k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.4

运用分配律。

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 (2 k) + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.5

化简。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.5.5.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

解题步骤 3.6

合并 $3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.1

从 $12 k$ 中减去 $12 k$ 。

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} + 0 = 5$

解题步骤 3.6.2

将 $3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

解题步骤 3.7

将 $3 k^{2}$ 和 $6 k^{2}$ 相加。

$9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

解题步骤 3.8

合并 $9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.8.1

从 $9 k^{2}$ 中减去 $9 k^{2}$ 。

$0 + 6 - 1 = 5$

解题步骤 3.8.2

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$6 - 1 = 5$

解题步骤 3.9

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$5 = 5$

解题步骤 4

因为 $5 = 5$ ，所以方程对于 $k$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

微积分学 示例

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