微积分学示例

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${t | t \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (t)$ 在 $[0, 7]$ 上连续。

$f (t)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

解题步骤 5

使 $u = - t^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 t d t$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - t^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- t^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 t)$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 t$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = - t^{2}$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = - 0^{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = - t^{2}$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = - 7^{2}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

解题步骤 5.5.2

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$u_{upper} = - 49$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 49$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 10.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 11.3

将 $\frac{1}{e^{49}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 11.4

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 11.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 11.5

将 $2$ 移到 $e^{49}$ 的左侧。

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

解题步骤 12

化简分母。

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解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

解题步骤 12.2

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

解题步骤 13

运用分配律。

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 14

乘以 $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ 。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{1}{2 e^{49}}$ 。

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 14.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 15

乘以 $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

解题步骤 15.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

解题步骤 16

微积分学 示例

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