微积分学示例

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

化简。

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

化简 ${(\frac{1}{x})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.3.1.1

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 1.2.2.3.1.2

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2.3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x = \frac{1}{x^{3}}$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $x = \frac{1}{x^{3}}$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 。

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

解题步骤 1.2.3.2.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

解题步骤 1.2.3.2.2.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

解题步骤 1.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1.1

约去公因数。

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

解题步骤 1.2.3.2.3.1.2

重写表达式。

$x^{4} = 1$

解题步骤 1.2.3.3

求解方程。

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解题步骤 1.2.3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

解题步骤 1.2.3.3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.3.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 1.3

当 $x = 1$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{1}{1}$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 代入 $y = \frac{1}{1}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{1}$

解题步骤 1.3.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 1.4

当 $x = - 1$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.4.2

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 1.5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3

用积分求 $- 1$ 和 $1$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $\sqrt[3]{x}$ 。

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3.6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 3.7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 3.8

化简答案。

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解题步骤 3.8.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 3.8.2

代入并化简。

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解题步骤 3.8.2.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 3.8.2.2

计算 $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3

化简。

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解题步骤 3.8.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.3

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.3.5.1

约去公因数。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.5.2

重写表达式。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.6

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

解题步骤 3.8.2.3.8

在公分母上合并分子。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

解题步骤 3.8.2.3.9

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

解题步骤 3.8.2.3.10

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.3.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

解题步骤 3.8.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.8.2.3.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.10.2.2

约去公因数。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.10.2.3

重写表达式。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

解题步骤 3.8.2.3.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

解题步骤 3.8.2.3.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

解题步骤 3.8.2.3.12

将 $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 3.8.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

解题步骤 3.8.4

化简。

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解题步骤 3.8.4.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

解题步骤 3.8.4.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.8.4.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$\ln (1)$

解题步骤 3.9

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

微积分学 示例

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