微积分学示例

$y = e^{x}$ , $y = - 3 x^{2} - 5 x$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$e^{x} = - 3 x^{2} - 5 x$

解题步骤 1.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.62636337, - 0.18686209 + y = - 3 x^{2} - 5 x$

解题步骤 1.3

当 $x = - 1.62636337$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $- 1.62636337$ 替换 $x$ 。

$y = - 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1.62636337$ 代入 $y = - 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = - 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $- 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

对 $- 1.62636337$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 3 \cdot 2.64505782 - 5 \cdot - 1.62636337$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2.64505782$ 。

$y = - 7.93517347 - 5 \cdot - 1.62636337$

解题步骤 1.3.2.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 1.62636337$ 。

$y = - 7.93517347 + 8.13181687$

解题步骤 1.3.2.2.2

将 $- 7.93517347$ 和 $8.13181687$ 相加。

$y = 0.19664339$

解题步骤 1.4

当 $x = - 0.18686209$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $- 0.18686209$ 替换 $x$ 。

$y = - 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$

解题步骤 1.4.2

将 $- 0.18686209$ 代入 $y = - 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$y = - 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$

解题步骤 1.4.2.2

化简 $- 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 0.18686209$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 3 \cdot 0.03491744 - 5 \cdot - 0.18686209$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0.03491744$ 。

$y = - 0.10475232 - 5 \cdot - 0.18686209$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 0.18686209$ 。

$y = - 0.10475232 + 0.93431045$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $- 0.10475232$ 和 $0.93431045$ 相加。

$y = 0.82955813$

解题步骤 1.5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(- 1.62636337, 0.19664339)$

$(- 0.18686209, 0.82955813)$

$(- 1.62636337, 0.19664339)$

$(- 0.18686209, 0.82955813)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} - 5 x d x - \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} e^{x} d x$

解题步骤 3

用积分求 $- 1.62636337$ 和 $- 0.18686209$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} - 5 x - (e^{x}) d x$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $e^{x}$ 。

$\int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} - 5 x - e^{x} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.4

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} x^{2} d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.7

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

解题步骤 3.10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} e^{x} d x$

解题步骤 3.11

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - (e^{x}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209})$

解题步骤 3.12

代入并化简。

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解题步骤 3.12.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $- 0.18686209$ 处和在 $- 1.62636337$ 处的值。

$- 3 ((\frac{{(- 0.18686209)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - (e^{x}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209})$

解题步骤 3.12.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $- 0.18686209$ 处和在 $- 1.62636337$ 处的值。

$- 3 (\frac{{(- 0.18686209)}^{3}}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - (e^{x}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209})$

解题步骤 3.12.3

计算 $e^{x}$ 在 $- 0.18686209$ 处和在 $- 1.62636337$ 处的值。

$- 3 (\frac{{(- 0.18686209)}^{3}}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4

化简。

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解题步骤 3.12.4.1

对 $- 0.18686209$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 (\frac{- 0.00652474}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.2

将负号移到分数的前面。

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.3

对 $- 1.62636337$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} - \frac{- 4.30182517}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.4

将负号移到分数的前面。

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} - - \frac{4.30182517}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} + 1 (\frac{4.30182517}{3})) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.6

将 $\frac{4.30182517}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} + \frac{4.30182517}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.7

在公分母上合并分子。

$- 3 \frac{- 0.00652474 + 4.30182517}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.8

将 $- 0.00652474$ 和 $4.30182517$ 相加。

$- 3 (\frac{4.29530042}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{4.29530042}{3}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 4.29530042}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.10

将 $- 3$ 乘以 $4.29530042$ 。

$\frac{- 12.88590128}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.12

对 $- 0.18686209$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{0.03491744}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.13

对 $- 1.62636337$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{0.03491744}{2} - \frac{2.64505782}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.14

在公分母上合并分子。

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 \frac{0.03491744 - 2.64505782}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.15

从 $0.03491744$ 中减去 $2.64505782$ 。

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{- 2.61014038}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (- \frac{2.61014038}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.17

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{12.88590128}{3} + 5 (\frac{2.61014038}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.18

组合 $5$ 和 $\frac{2.61014038}{2}$ 。

$- \frac{12.88590128}{3} + \frac{5 \cdot 2.61014038}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.19

将 $5$ 乘以 $2.61014038$ 。

$- \frac{12.88590128}{3} + \frac{13.05070192}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.20

要将 $- \frac{12.88590128}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{12.88590128}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{13.05070192}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.21

要将 $\frac{13.05070192}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{12.88590128}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{13.05070192}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.22

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.12.4.22.1

将 $\frac{12.88590128}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{13.05070192}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.22.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{6} + \frac{13.05070192}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.22.3

将 $\frac{13.05070192}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{6} + \frac{13.05070192 \cdot 3}{2 \cdot 3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.22.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{6} + \frac{13.05070192 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.23

在公分母上合并分子。

$\frac{- 12.88590128 \cdot 2 + 13.05070192 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.24

将 $- 12.88590128$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 25.77180256 + 13.05070192 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.25

将 $13.05070192$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 25.77180256 + 39.15210578}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.26

将 $- 25.77180256$ 和 $39.15210578$ 相加。

$\frac{13.38030322}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

解题步骤 3.12.4.27

要将 $- (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{13.38030322}{6} - (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337}) \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 3.12.4.28

组合 $- (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337})$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{13.38030322}{6} + \frac{- (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337}) \cdot 6}{6}$

解题步骤 3.12.4.29

在公分母上合并分子。

$\frac{13.38030322 - (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337}) \cdot 6}{6}$

解题步骤 3.12.4.30

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{13.38030322 - 6 (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337})}{6}$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

化简分子。

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解题步骤 3.13.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{13.38030322 - 6 (\frac{1}{e^{0.18686209}} - e^{- 1.62636337})}{6}$

解题步骤 3.13.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{13.38030322 - 6 (\frac{1}{e^{0.18686209}} - \frac{1}{e^{1.62636337}})}{6}$

解题步骤 3.13.1.2

运用分配律。

$\frac{13.38030322 - 6 \frac{1}{e^{0.18686209}} - 6 (- \frac{1}{e^{1.62636337}})}{6}$

解题步骤 3.13.1.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{e^{0.18686209}}$ 。

$\frac{13.38030322 + \frac{- 6}{e^{0.18686209}} - 6 (- \frac{1}{e^{1.62636337}})}{6}$

解题步骤 3.13.1.4

乘以 $- 6 (- \frac{1}{e^{1.62636337}})$ 。

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解题步骤 3.13.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{13.38030322 + \frac{- 6}{e^{0.18686209}} + 6 \frac{1}{e^{1.62636337}}}{6}$

解题步骤 3.13.1.4.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{e^{1.62636337}}$ 。

$\frac{13.38030322 + \frac{- 6}{e^{0.18686209}} + \frac{6}{e^{1.62636337}}}{6}$

解题步骤 3.13.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{13.38030322 - \frac{6}{e^{0.18686209}} + \frac{6}{e^{1.62636337}}}{6}$

解题步骤 3.13.1.6

从 $13.38030322$ 中减去 $\frac{6}{e^{0.18686209}}$ 。

$\frac{8.40295442 + \frac{6}{e^{1.62636337}}}{6}$

解题步骤 3.13.1.7

将 $8.40295442$ 和 $\frac{6}{e^{1.62636337}}$ 相加。

$\frac{9.58281479}{6}$

解题步骤 3.13.2

用 $9.58281479$ 除以 $6$ 。

$1.59713579$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例