微积分学示例

$f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 1.1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 1.1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.1.7

在公分母上合并分子。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.1.8

化简分子。

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解题步骤 1.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 1.1.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 1.1.9

将负号移到分数的前面。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.1.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.1.11

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.13

化简。

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解题步骤 1.1.13.1

运用分配律。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.2

合并项。

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解题步骤 1.1.13.2.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.2.2

组合 $7$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.3

重新排序项。

$f' (x) = - 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.9

在公分母上合并分子。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.2.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.11

将负号移到分数的前面。

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 7 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.13

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.16

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.2.17

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $\frac{7}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.12

在公分母上合并分子。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.13

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.14

将负号移到分数的前面。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.16

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $e^{- x}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.18

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.18.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.18.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.18.2.1

约去公因数。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.18.2.2

重写表达式。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

解题步骤 1.2.3.19

化简。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.2.3.20

将 $\frac{7}{2}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 。

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.1

运用分配律。

$- 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.2

运用分配律。

$- 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3

合并项。

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解题步骤 1.2.4.3.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.5

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.6

组合 $- 7$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.8

要将 $- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.2.4.3.9

要将 $\frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.4.3.10.1

将 $\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.5

在公分母上合并分子。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.7

将 $\frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.3.10.8.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

解题步骤 1.2.4.3.10.8.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.3.10.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

解题步骤 1.2.4.3.10.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.8.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.8.4

在公分母上合并分子。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.10.8.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.3.11

在公分母上合并分子。

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.4

重新排序项。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.5.1.1

从 $- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 1.2.4.5.1.1.1.1

移动 $e^{- x}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 x e^{- x} + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.1.1.2

将 $- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.1.2

从 $- 7 x e^{- x}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.1.3

从 $x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.2

从 $- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 中减去 $7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.3

从 $- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1.3.1

从 $- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.3.2

从 $- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 7 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.3.3

从 $7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 7 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.4

从 $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1.4.1

从 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.4.2

从 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.4.3

从 $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.5

合并指数。

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解题步骤 1.2.4.5.1.5.1

提取负因数。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.5.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.6

要将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.7

组合 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.8

在公分母上合并分子。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.5.1.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1.9.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.2.3

在公分母上合并分子。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.3

化简 $2 \cdot 2 x^{1}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.9.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.10

合并指数。

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解题步骤 1.2.4.5.1.10.1

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.10.2

组合 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 7$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.10.3

组合 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{- x}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.11

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1.11.1

约去公因数。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.11.2

重写表达式。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.12

将 $- 7$ 移到 $4 x + 1$ 的左侧。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 7 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.1.13

将负号移到分数的前面。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.2

将分子乘以分母的倒数。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.5.3

乘以 $- \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.3.1

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.2.4.5.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.6

要将 $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.7

组合 $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.9.1

从 $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 7 (4 x + 1) e^{- x}$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.2.4.9.1.1

从 $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.1.2

从 $- 7 (4 x + 1) e^{- x}$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 7 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.1.3

从 $7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 7 e^{- x} (- (4 x + 1))$ 中分解出因数 $7 e^{- x}$ 。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.9.2.1

移动 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.2.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.2.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{7 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.3

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.9.3.1

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{7 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.3.2

运用分配律。

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2.4.9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 2.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.3.3

将 $4 x^{2} - 4 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $4 x^{2} - 4 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.3

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 2.3.3.2.3.3

化简 $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.3

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 2.3.3.2.4.3

化简 $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.3

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 2.3.3.2.5.3

化简 $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4

排除不能使 $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ 成立的解。

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $1.20710678$ 代入 $f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $1.20710678$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.20710678) = 7 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

去掉圆括号。

$f (1.20710678) = 7 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1.20710678$ 。

$f (1.20710678) = 7 \sqrt{1.20710678} e^{- 1.20710678}$

解题步骤 3.1.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (1.20710678) = 7 \sqrt{1.20710678} (\frac{1}{e^{1.20710678}})$

解题步骤 3.1.2.4

乘以 $7 \sqrt{1.20710678} \frac{1}{e^{1.20710678}}$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.1

组合 $\frac{1}{e^{1.20710678}}$ 和 $7$ 。

$f (1.20710678) = \frac{7}{e^{1.20710678}} \cdot \sqrt{1.20710678}$

解题步骤 3.1.2.4.2

组合 $\frac{7}{e^{1.20710678}}$ 和 $\sqrt{1.20710678}$ 。

$f (1.20710678) = \frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

解题步骤 3.1.2.5

最终答案为 $\frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

解题步骤 3.2

通过将 $1.20710678$ 代入 $f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$ 中求得的点为 $(1.20710678, \frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1.20710678, \frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 1.20710678) \cup (1.20710678, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 1.20710678)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1.10710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 e^{- (1.10710678)} (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- (1.10710678)}$ 移动到分母。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678}}$

解题步骤 5.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $1.10710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 (4 \cdot 1.22568542 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4$ 乘以 $1.22568542$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 (4.90274169 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1.10710678$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 (4.90274169 - 4.42842712 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.2.4

从 $4.90274169$ 中减去 $4.42842712$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 (0.47431457 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.2.5

从 $0.47431457$ 中减去 $1$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $1.10710678$ 重写为 ${1.05219141}^{2}$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({({1.05219141}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1

约去公因数。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.3.3.2

重写表达式。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{3} e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.3.4

对 $1.05219141$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot (1.16488825 e^{1.10710678})}$

解题步骤 5.2.3.5

合并指数。

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解题步骤 5.2.3.5.1

将 $4$ 乘以 $1.16488825$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{4.65955301 e^{1.10710678}}$

解题步骤 5.2.3.5.2

将 $4.65955301$ 乘以 $e^{1.10710678}$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{7 \cdot - 0.52568542}{14.09790642}$

解题步骤 5.2.4

化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $7$ 乘以 $- 0.52568542$ 。

$f'' (1.10710678) = \frac{- 3.67979797}{14.09790642}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $- 3.67979797$ 除以 $14.09790642$ 。

$f'' (1.10710678) = - 0.26101733$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $- 0.26101733$ 。

$- 0.26101733$

解题步骤 5.3

在 $1.10710678$ ，二阶导数为 $- 0.26101733$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 1.20710678)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 1.20710678)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(1.20710678, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.30710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 e^{- (1.30710678)} (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- (1.30710678)}$ 移动到分母。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678}}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $1.30710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 (4 \cdot 1.70852813 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $4$ 乘以 $1.70852813$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 (6.83411254 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1.30710678$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 (6.83411254 - 5.22842712 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.2.4

从 $6.83411254$ 中减去 $5.22842712$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 (1.60568542 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.2.5

从 $1.60568542$ 中减去 $1$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.3

化简分母。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $1.30710678$ 重写为 ${1.1432877}^{2}$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({({1.1432877}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.3.1

约去公因数。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.3.3.2

重写表达式。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{3} e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.3.4

对 $1.1432877$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{4 \cdot (1.49439911 e^{1.30710678})}$

解题步骤 6.2.3.5

合并指数。

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解题步骤 6.2.3.5.1

将 $4$ 乘以 $1.49439911$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{5.97759645 e^{1.30710678}}$

解题步骤 6.2.3.5.2

将 $5.97759645$ 乘以 $e^{1.30710678}$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{7 \cdot 0.60568542}{22.09000709}$

解题步骤 6.2.4

化简表达式。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $7$ 乘以 $0.60568542$ 。

$f'' (1.30710678) = \frac{4.23979797}{22.09000709}$

解题步骤 6.2.4.2

用 $4.23979797$ 除以 $22.09000709$ 。

$f'' (1.30710678) = 0.19193284$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $0.19193284$ 。

$0.19193284$

解题步骤 6.3

在 $1.30710678$ 处，二阶导数为 $0.19193284$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(1.20710678, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1.20710678, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(1.20710678, \frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ 。

$(1.20710678, \frac{7 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例