微积分学示例

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (y)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (y) = - y^{2} + 14 y$ 和 $g (y) = y^{2}$ 时， $V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ 重写为 $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ 。

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4

将 $y^{4}$ 乘以 $1$ 。

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.6.1

移动 $y$ 。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.6.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.9.1

移动 $y^{2}$ 。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.9.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.10

将 $14$ 乘以 $- 1$ 。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.12

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.12.1

移动 $y$ 。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.12.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.13

将 $14$ 乘以 $14$ 。

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 14 y^{3}$ 中减去 $14 y^{3}$ 。

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

解题步骤 2.2

合并 $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $y^{4}$ 中减去 $y^{4}$ 。

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

解题步骤 2.2.2

将 $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

解题步骤 4

由于 $- 28$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 28$ 移到积分外。

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

解题步骤 5

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

解题步骤 7

由于 $196$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $196$ 移到积分外。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{y^{4}}{4}$ 在 $7$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $7$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.3

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.3.2.2

约去公因数。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.3.2.3

重写表达式。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.5

将 $\frac{2401}{4}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.6

组合 $- 28$ 和 $\frac{2401}{4}$ 。

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.7

将 $- 28$ 乘以 $2401$ 。

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8

约去 $- 67228$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.1

从 $- 67228$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.8.2.4

用 $- 16807$ 除以 $1$ 。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.9

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.3.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 9.2.3.11

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 9.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.11.2.2

约去公因数。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.11.2.3

重写表达式。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 9.2.3.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

解题步骤 9.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

解题步骤 9.2.3.13

将 $\frac{343}{3}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

解题步骤 9.2.3.14

组合 $196$ 和 $\frac{343}{3}$ 。

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

解题步骤 9.2.3.15

将 $196$ 乘以 $343$ 。

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

解题步骤 9.2.3.16

要将 $- 16807$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

解题步骤 9.2.3.17

组合 $- 16807$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

解题步骤 9.2.3.18

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

解题步骤 9.2.3.19

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.19.1

将 $- 16807$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

解题步骤 9.2.3.19.2

将 $- 50421$ 和 $67228$ 相加。

$V = π (\frac{16807}{3})$

解题步骤 9.2.3.20

组合 $π$ 和 $\frac{16807}{3}$ 。

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

解题步骤 9.2.3.21

将 $16807$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{16807 π}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{16807 π}{3}$

小数形式：

$V = 17600.24924296 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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