微积分学示例

$y = \sec^{2} (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{6}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\sec^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (x) = \pm 0$

解题步骤 1.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 1.2.3

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{6}} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求 $0$ 和 $\frac{π}{6}$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) - (0) d x$

解题步骤 3.2

从 $\sec^{2} (x)$ 中减去 $0$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 3.4

化简答案。

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解题步骤 3.4.1

计算 $\tan (x)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (0)$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (0)$

解题步骤 3.4.2.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 0$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 0$

解题步骤 3.4.2.4

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$0.57735026 \dots$

解题步骤 5

微积分学 示例

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