微积分学示例

$y = (z^{2} + e^{z}) \sqrt{z}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{z}$ 重写成 $z^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d z} [(z^{2} + e^{z}) z^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z^{2} + e^{z}$ 且 $g (z) = z^{\frac{1}{2}}$ 。

$(z^{2} + e^{z}) \frac{d}{d z} [z^{\frac{1}{2}}] + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{- 1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{- \frac{1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 8.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $z^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(z^{2} + e^{z}) \frac{z^{- \frac{1}{2}}}{2} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $z^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

解题步骤 8.3

根据加法法则， $z^{2} + e^{z}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ 。

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

解题步骤 8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

解题步骤 9

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ 等于 $a^{z} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3

合并项。

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解题步骤 10.3.1

组合 $z^{2}$ 和 $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{z^{2}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $z^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{z^{2} z^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.3

通过指数相加将 $z^{2}$ 乘以 $z^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{z^{2 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.3.5

化简分子。

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解题步骤 10.3.3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{z^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.3.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.4

组合 $e^{z}$ 和 $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.5

通过指数相加将 $z^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 10.3.5.1

移动 $z$ 。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z \cdot z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.5.2

将 $z$ 乘以 $z^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.5.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1} z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.5.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.6

将 $2$ 移到 $z^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot z^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.7

要将 $2 z^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.8

组合 $2 z^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 4 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.3.11

将 $z^{\frac{3}{2}}$ 和 $4 z^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$\frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$e^{z} z^{\frac{1}{2}} + \frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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