微积分学示例

$x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{19}{9}$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $19$ 中减去 $9$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{10}{9}$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1}$

解题步骤 1.1.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

解题步骤 1.1.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

解题步骤 1.1.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 1 \cdot 9}{9}}$

解题步骤 1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 9}{9}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

从 $10$ 中减去 $9$ 。

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

解题步骤 1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.1

组合 $\frac{19}{9}$ 和 $x^{\frac{10}{9}}$ 。

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

解题步骤 1.1.4.2

组合 $\frac{10}{9}$ 和 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$f' (x) = \frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$ 。

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 0.52631578, 0$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 0.52631578$ 替换 $x$ 。

${(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{9}$ 。

${(0^{9})}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

约去公因数。

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

重写表达式。

$0^{19} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $0$ 重写为 $0^{9}$ 。

$0 + {(0^{9})}^{\frac{10}{9}}$

解题步骤 4.2.2.1.6

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

解题步骤 4.2.2.1.7

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

约去公因数。

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

重写表达式。

$0 + 0^{10}$

解题步骤 4.2.2.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 0.52631578, {(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}), (0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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