微积分学示例

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 1.1.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.1.3.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序项。

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.2

从 $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.2.1

从 $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.2.2

从 $- 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

解题步骤 1.1.4.2.3

从 $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.1.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.1.4.5

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.1.4.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.1.4.7

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.1.4.8

使用勾股恒等式。

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 1.1.4.9

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.9.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 1.1.4.9.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.9.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 1.1.4.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.4.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

解题步骤 1.1.4.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 \sin^{3} (x)$ 。

$- 3 \sin^{3} (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\sin^{3} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 3$ 。

$\sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.4

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.4.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2.5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.6

化简右边。

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解题步骤 2.6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 2.8

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 2.9

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.9.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.10

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.11

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $π n$ 。

$π n$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ 。

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, π n)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $π n - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

解题步骤 5.2

最终答案为 $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ 。

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

解题步骤 5.3

化简。

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

解题步骤 5.4

在 $x = π n - 1$ 处，导数为 $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, π n)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, π n)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(π n, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $π n + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ 。

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

解题步骤 6.3

化简。

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

解题步骤 6.4

在 $x = π n + 1$ 处，导数为 $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(π n, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(π n, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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