微积分学示例

$f (x) = x \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2.2

重写表达式。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 + \ln (x)$ 。

$1 + \ln (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 + \ln (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 + \ln (x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\ln (x) = - 1$

解题步骤 2.3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

解题步骤 2.4

使用对数的定义将 $\ln (x) = - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 1} = x$

解题步骤 2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $x = e^{- 1}$ 。

$x = e^{- 1}$

解题步骤 2.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 4.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

解题步骤 6

排除不在定义域中的区间。

$(0, \frac{1}{e})$

解题步骤 7

将区间 $(0, \frac{1}{e})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.18393972$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $1 + \ln (0.18393972)$ 。

$1 + \ln (0.18393972)$

解题步骤 7.3

化简。

$- 0.69314715$

解题步骤 7.4

在 $x = 0.18393972$ 处，导数为 $- 0.69314715$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \frac{1}{e})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{1}{e})$ 上递减

解题步骤 8

排除不在定义域中的区间。

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

解题步骤 9

将区间 $(\frac{1}{e}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1.36787945$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

解题步骤 9.2

最终答案为 $1 + \ln (1.36787945)$ 。

$1 + \ln (1.36787945)$

解题步骤 9.3

化简。

$1.31326169$

解题步骤 9.4

在 $x = 1.36787945$ 处，导数为 $1.31326169$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{1}{e}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{1}{e}, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{1}{e}, \infty)$

递减于： $(0, \frac{1}{e})$

解题步骤 11

微积分学 示例

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