微积分学示例

$c (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

解题步骤 1

因为 $t$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

解题步骤 2

化简 $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ 。

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解题步骤 2.1

重写。

$0 + 0 + 3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

解题步骤 2.2

通过加上各个零进行化简。

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

解题步骤 2.3

组合 $t$ 和 $\frac{1}{30}$ 。

$3 t e^{- \frac{t}{30}} = c t$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $c t$ 。

$3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t = 0$

解题步骤 4

从 $3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 4.1

从 $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) - c t = 0$

解题步骤 4.2

从 $- c t$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c) = 0$

解题步骤 4.3

从 $t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c)$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

解题步骤 6

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 7

将 $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 7.1

将 $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ 设为等于 $0$ 。

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

解题步骤 7.2

求解 $t$ 的 $3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $c$ 。

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$

解题步骤 7.2.2

将 $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $e^{- \frac{t}{30}}$ 除以 $1$ 。

$e^{- \frac{t}{30}} = \frac{c}{3}$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.4

展开左边。

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解题步骤 7.2.4.1

通过将 $- \frac{t}{30}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{t}{30}})$ 。

$- \frac{t}{30} \ln (e) = \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- \frac{t}{30} \cdot 1 = \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{t}{30} = \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.5

等式两边同时乘以 $- 30$ 。

$- 30 (- \frac{t}{30}) = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.6

化简左边。

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解题步骤 7.2.6.1

化简 $- 30 (- \frac{t}{30})$ 。

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解题步骤 7.2.6.1.1

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.6.1.1.1

将 $- \frac{t}{30}$ 中前置负号移到分子中。

$- 30 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.6.1.1.2

从 $- 30$ 中分解出因数 $30$ 。

$30 (- 1) \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.6.1.1.3

约去公因数。

$30 \cdot - 1 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.6.1.1.4

重写表达式。

$- - t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.6.1.2

乘。

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解题步骤 7.2.6.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 7.2.6.1.2.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

解题步骤 8

最终解为使 $t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$ 成立的所有值。

$t = 0$

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

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