微积分学示例

$f (x) = x \ln (x)$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

重写表达式。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = x \ln (x)$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例