微积分学示例

$\int_{0}^{x} \sqrt{t^{4} + t^{6}} d t$

解题步骤 1

从 $t^{4} + t^{6}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

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解题步骤 1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \sqrt{t^{4} \cdot 1 + t^{6}} d t]$

解题步骤 1.2

从 $t^{6}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \sqrt{t^{4} \cdot 1 + t^{4} t^{2}} d t]$

解题步骤 1.3

从 $t^{4} \cdot 1 + t^{4} t^{2}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \sqrt{t^{4} (1 + t^{2})} d t]$

解题步骤 2

将 $t^{4} (1 + t^{2})$ 重写为 ${(t^{2})}^{2} (1^{2} + t^{2})$ 。

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解题步骤 2.1

将 $t^{4}$ 重写为 ${(t^{2})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \sqrt{{(t^{2})}^{2} (1 + t^{2})} d t]$

解题步骤 2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \sqrt{{(t^{2})}^{2} (1^{2} + t^{2})} d t]$

解题步骤 3

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 3.1

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} t^{2} \sqrt{1^{2} + t^{2}} d t]$

解题步骤 3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} t^{2} \sqrt{1 + t^{2}} d t]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理，取 $\int_{0}^{x} t^{2} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ 对 $x$ 的导数。

$x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$

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