微积分学示例

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $(x^{2} - 3) e^{- x}$ 的左侧。

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.3.3.3

将 $- 1 (x^{2} - 3)$ 重写为 $- (x^{2} - 3)$ 。

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.3.4

根据加法法则， $x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

解题步骤 1.1.3.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.3.7

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4.2

运用分配律。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4.4

重新排序项。

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

解题步骤 1.1.4.5

将 $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- x^{2} e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $2 x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $3 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

把 $2$ 重写为 $- 1$ 加 $3$

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.5

将 $- x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $- x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- x = 1$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- x = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $- x = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.7

最终解为使 $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- 1, 3$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

解题步骤 5.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $- 4 e^{2}$ 中减去 $4 e^{2}$ 。

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 8 e^{2}$ 和 $3 e^{2}$ 相加。

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 5 e^{2}$ 。

$- 5 e^{2}$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- 5 e^{2}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 1 \frac{1}{e}$ 重写为 $- \frac{1}{e}$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

解题步骤 6.2.1.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

解题步骤 6.2.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

解题步骤 6.2.1.12

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

解题步骤 6.2.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

解题步骤 6.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (1) = \frac{4}{e}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $\frac{4}{e}$ 。

$\frac{4}{e}$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $\frac{4}{e}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1, 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 3)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.5

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.10

组合 $8$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

解题步骤 7.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

解题步骤 7.2.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

解题步骤 7.2.1.13

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

解题步骤 7.2.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

解题步骤 7.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.2.1

将 $- 16$ 和 $8$ 相加。

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

解题步骤 7.2.2.2.2

将 $- 8$ 和 $3$ 相加。

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

解题步骤 7.2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- \frac{5}{e^{4}}$ 。

$- \frac{5}{e^{4}}$

解题步骤 7.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $- \frac{5}{e^{4}}$ 。由于其值为负，函数在 $(3, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(3, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 1, 3)$

递减于： $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例