微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 5 x$ 且 $g (x) = 25 - x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

根据加法法则， $25 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.10

乘。

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解题步骤 2.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.10.2

将 $x^{2} + 5 x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.12

将 $2$ 移到 $x^{2} + 5 x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.1.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.1.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.1.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.3.1.2.1

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.2

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.2

合并 $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.3.3.2.1

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.2.2

将 $50 x + 125 - 5 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.3

将 $- 5 x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.5.1

从 $5 x^{2} + 50 x + 125$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

从 $50 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.1.3

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.1.4

从 $5 x^{2} + 5 (10 x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.1.5

从 $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ 中分解出因数 $5$ 。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1.3.5.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

解题步骤 2.1.3.5.2.3

重写多项式。

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

化简分母。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $- x^{2}$ 和 $5^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.4

对 $(5 + x) (5 - x)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7

约去 ${(x + 5)}^{2}$ 和 ${(5 + x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.7.1

重新排序项。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$5 = 0$

解题步骤 3.3

因为 $5 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(5 - x)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $5 - x$ 设为等于 $0$ 。

$5 - x = 0$

解题步骤 5.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- x = - 5$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- x = - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.2.1

将 $- x = - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.2.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$x = 5$

解题步骤 6

求出让导数 $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ 。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 7

将区间 $(- \infty, 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (4) = \frac{5}{1}$

解题步骤 7.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (4) = 5$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 7.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $5$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 5)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 5)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分母。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = \frac{5}{1}$

解题步骤 8.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (6) = 5$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 8.3

在 $x = 6$ 处，导数为 $5$ 。由于其值为正，函数在 $(5, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(5, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 5), (5, \infty)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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