微积分学示例

$\frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$

解题步骤 1

将 $\frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = | 4 - x^{2} |$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (| 4 - x^{2} |) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $4 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- (2 x)) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

合并分数。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- 2 x) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) \cdot x - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{x (- 2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.6.4.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{x \cdot (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.4.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 \cdot (x (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.10

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x \cdot 4 + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{3})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.5

以因式分解的形式重写 $8 x - 2 x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.5.1

从 $8 x - 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1.5.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4) - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.5.1.2

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4) + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.5.1.3

从 $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2^{2} - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.1.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 (2 - x) + x (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.3.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.5.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 0 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.4.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.5

乘以 $- 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + 2 (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ 。

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{2 (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.5.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.6

乘以 $- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.6.1

组合 $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x (2 + x) (2 - x) x}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{- \frac{2 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{- \frac{2 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{1 + 1} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.7

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 + x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{(- 2 x^{2} \cdot 2 - 2 x^{2} x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{2} x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.3.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2})) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.4.2.1.8.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2})) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{1 + 2}) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{3}) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x^{2} - 2 x^{3}) (2 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.4.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} (2 - x) - 2 x^{3} (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.4.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} \cdot 2 - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.4.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} \cdot 2 - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{2} x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{3}) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{3} x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.7

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.7.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x^{3})) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x^{3})) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{1 + 3}) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.7.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{4}) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.1.8

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.2

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 0 + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.5.3

将 $- 8 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.6

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (4 x \cdot 2 + 4 x \cdot x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 x \cdot x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.8.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 (x \cdot x)) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 x^{2}) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.9

使用 FOIL 方法展开 $(8 x + 4 x^{2}) (2 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.9.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x (2 - x) + 4 x^{2} (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.9.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x \cdot 2 + 8 x (- x) + 4 x^{2} (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.9.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x \cdot 2 + 8 x (- x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 x (- x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 x \cdot x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.3.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{2} x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.7.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{3})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.1.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.2

将 $- 8 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 0 - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.8.10.3

将 $16 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.2.1.9.1

从 $- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.1

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.2

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.3

从 $16 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 2 x (8) - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.4

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 2 x (8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.5

从 $2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3}) + 2 x (8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.6

从 $2 x (- 4 x + x^{3}) + 2 x (8)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3} + 8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.1.7

从 $2 x (- 4 x + x^{3} + 8) + 2 x (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3} + 8 - 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.9.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.4

通过因式分解出最大公因数 $x - 2$ 来因式分解多项式。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x^{2} - 4))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x^{2} - 2^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x + 2) (x - 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.7

合并指数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.9.7.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2) (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.7.2

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2) (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.1.9.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ({(x - 2)}^{2} (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

要将 $- | 4 - x^{2} |$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} | \cdot \frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.3

组合 $- | 4 - x^{2} |$ 和 $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{- | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.2.5.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.2.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.2.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.2.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 x + 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.4

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.5

化简。

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解题步骤 2.1.4.2.5.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.5.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{2 + 1} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.5.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x \cdot x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.5.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x \cdot x) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.6.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x^{2}) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x + 2)$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.8.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.8.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.8.3.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.8.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.4

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.8.5.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.8.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.9

从 $4 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.10

将 $- 16 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.11

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.11.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 (2 - x) + x (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.11.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.11.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.5.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 + 0 - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.12.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.13

乘以 $- | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.13.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.13.2

对 $4 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.13.3

对 $4 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.13.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | {(4 - x^{2})}^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.14

将 ${(4 - x^{2})}^{2}$ 重写为 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.15

使用 FOIL 方法展开 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.15.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.15.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.15.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.16.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.1.7

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2.5.16.2

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.3

合并项。

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解题步骤 2.1.4.3.1

将 $\frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.3.2

将 $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ 乘以 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) | {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$ 。

$\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

将所有不包含 $| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1.1

从等式两边同时减去 $2 x^{4}$ 。

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4}$

解题步骤 3.3.1.2

在等式两边都加上 $4 x^{3}$ 。

$- 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 3.3.1.3

在等式两边都加上 $8 x^{2}$ 。

$16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.4

从等式两边同时减去 $16 x$ 。

$- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$

解题步骤 3.3.2

将 $- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{- 1} = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{1} = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2.2

用 $| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |$ 除以 $1$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.3.1.1

移动 $\frac{- 2 x^{4}}{- 1}$ 中分母的负号。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 1 \cdot (- 2 x^{4}) + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot (- 2 x^{4})$ 重写为 $- (- 2 x^{4})$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - (- 2 x^{4}) + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.4

移动 $\frac{4 x^{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 1 \cdot (4 x^{3}) + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.5

将 $- 1 \cdot (4 x^{3})$ 重写为 $- (4 x^{3})$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.7

移动 $\frac{8 x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 1 \cdot (8 x^{2}) + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.8

将 $- 1 \cdot (8 x^{2})$ 重写为 $- (8 x^{2})$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - (8 x^{2}) + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.9

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + \frac{- 16 x}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3.1.10

移动 $\frac{- 16 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 16 x)$

解题步骤 3.3.2.3.1.11

将 $- 1 \cdot (- 16 x)$ 重写为 $- (- 16 x)$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} - (- 16 x)$

解题步骤 3.3.2.3.1.12

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = \pm (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$

解题步骤 3.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

解题步骤 3.3.4.2

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.4.3.1

在等式两边都加上 $8 x^{2}$ 。

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} = 16 + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.3.2

从等式两边同时减去 $x^{4}$ 。

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} - x^{4} = 16$

解题步骤 3.3.4.3.3

合并 $2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} - x^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.4.3.3.1

将 $- 8 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x + 0 - x^{4} = 16$

解题步骤 3.3.4.3.3.2

将 $2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - x^{4} = 16$

解题步骤 3.3.4.3.4

从 $2 x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$x^{4} - 4 x^{3} + 16 x = 16$

解题步骤 3.3.4.4

从等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.4.5.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ 。

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解题步骤 3.3.4.5.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.3.4.5.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

解题步骤 3.3.4.5.1.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.3.4.5.1.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.2

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 - 4 \cdot - 8 + 16 \cdot - 2 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.4

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$16 + 32 + 16 \cdot - 2 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.5

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$48 + 16 \cdot - 2 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.6

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$48 - 32 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.7

从 $48$ 中减去 $32$ 。

$16 - 16$

解题步骤 3.3.4.5.1.3.8

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$0$

解题步骤 3.3.4.5.1.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 2}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5

用 $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 3.3.4.5.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + 2 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x^{3} - 12 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $12 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x^{2} + 24 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 8 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x - 16$ 中的所有符号

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

$0$

解题步骤 3.3.4.5.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

解题步骤 3.3.4.5.1.6

将 $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) = 0$

解题步骤 3.3.4.5.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 。

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解题步骤 3.3.4.5.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.3.4.5.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 3.3.4.5.2.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.3.4.5.2.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.4

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.5

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.6

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$- 16 + 24 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.7

将 $- 16$ 和 $24$ 相加。

$8 - 8$

解题步骤 3.3.4.5.2.3.8

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0$

解题步骤 3.3.4.5.2.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

解题步骤 3.3.4.5.2.5

用 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 3.3.4.5.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} + 8 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x - 8$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

解题步骤 3.3.4.5.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 4 x + 4$

解题步骤 3.3.4.5.2.6

将 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

解题步骤 3.3.4.5.3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.4.5.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

解题步骤 3.3.4.5.3.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 3.3.4.5.3.3

重写多项式。

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

解题步骤 3.3.4.5.3.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 2) ((x - 2) {(x - 2)}^{2}) = 0$

解题步骤 3.3.4.5.4

合并同类因式。

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解题步骤 3.3.4.5.4.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) ((x - 2) {(x - 2)}^{2}) = 0$

解题步骤 3.3.4.5.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

解题步骤 3.3.4.5.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x + 2) {(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 3.3.4.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 3.3.4.7

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.7.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.3.4.7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.3.4.8

将 ${(x - 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.8.1

将 ${(x - 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 3.3.4.8.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.4.8.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.4.8.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.3.4.9

最终解为使 $(x + 2) {(x - 2)}^{3} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 3.3.4.10

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = - (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$

解题步骤 3.3.4.11

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12

化简 $- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$ 。

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解题步骤 3.3.4.12.1

重写。

$0 + 0 - (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12.2

通过加上各个零进行化简。

$- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12.3

运用分配律。

$- (2 x^{4}) - (- 4 x^{3}) - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12.4

化简。

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解题步骤 3.3.4.12.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{4} - (- 4 x^{3}) - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12.4.3

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.12.4.4

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.13

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.4.13.1

在等式两边都加上 $8 x^{2}$ 。

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} = 16 + x^{4}$

解题步骤 3.3.4.13.2

从等式两边同时减去 $x^{4}$ 。

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} - x^{4} = 16$

解题步骤 3.3.4.13.3

从 $- 2 x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} = 16$

解题步骤 3.3.4.13.4

将 $8 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x = 16$

解题步骤 3.3.4.14

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.4.15.1

重新组合项。

$4 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.2

从 $4 x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 3.3.4.15.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.2.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.4

因数。

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解题步骤 3.3.4.15.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.4.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 16 u - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.7

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.4.15.7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot - 16 = 48$ 并且它们的和为 $b = 16$ 。

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解题步骤 3.3.4.15.7.1.1

从 $16 u$ 中分解出因数 $16$ 。

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 16 (u) - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.7.1.2

把 $16$ 重写为 $4$ 加 $12$

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + (4 + 12) u - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.7.1.3

运用分配律。

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 4 u + 12 u - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.4.15.7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 4 u + 12 u - 16 = 0$

解题步骤 3.3.4.15.7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$4 x (x + 2) (x - 2) + u (- 3 u + 4) - 4 (- 3 u + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.7.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 u + 4$ 来因式分解多项式。

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 u + 4) (u - 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.9

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.10

因数。

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解题步骤 3.3.4.15.10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.10.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.11

从 $4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.4.15.11.1

从 $4 x (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.11.2

从 $(- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.11.3

从 $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} + 4)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (4 x - 3 x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 2) (x - 2) (4 u - 3 u^{2} + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.4.15.13.1

重新排序项。

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + 4 u + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 3.3.4.15.13.2.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + 4 (u) + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13.2.2

把 $4$ 重写为 $- 2$ 加 $6$

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + (- 2 + 6) u + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13.2.3

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} - 2 u + 6 u + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.4.15.13.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 u^{2} - 2 u) + 6 u + 4) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x - 2) (u (- 3 u - 2) - 2 (- 3 u - 2)) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.13.4

通过因式分解出最大公因数 $- 3 u - 2$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 u - 2) (u - 2)) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.14

因数。

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解题步骤 3.3.4.15.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 x - 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.15

合并指数。

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解题步骤 3.3.4.15.15.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (- 3 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.15.2

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (- 3 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (- 3 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.15.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (- 3 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.4.16

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$- 3 x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.4.17

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.17.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.3.4.17.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.3.4.18

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.18.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 3.3.4.18.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.4.18.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.4.18.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.3.4.19

将 $- 3 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.19.1

将 $- 3 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$- 3 x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.4.19.2

求解 $x$ 的 $- 3 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.4.19.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$- 3 x = 2$

解题步骤 3.3.4.19.2.2

将 $- 3 x = 2$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.4.19.2.2.1

将 $- 3 x = 2$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 3.3.4.19.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.4.19.2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.19.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 3.3.4.19.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 3.3.4.19.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.4.19.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.3.4.20

最终解为使 $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (- 3 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2, - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4

排除不能使 $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) | = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

$| (2 + x) (2 - x) | = 0$

解题步骤 5.2.2

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.2.2.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.2.3

将 $| (2 + x) (2 - x) |$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $| (2 + x) (2 - x) |$ 设为等于 $0$ 。

$| (2 + x) (2 - x) | = 0$

解题步骤 5.2.3.2

求解 $x$ 的 $| (2 + x) (2 - x) | = 0$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$(2 + x) (2 - x) = \pm 0$

解题步骤 5.2.3.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$(2 + x) (2 - x) = 0$

解题步骤 5.2.3.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 $2 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.4.1

将 $2 + x$ 设为等于 $0$ 。

$2 + x = 0$

解题步骤 5.2.3.2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 $2 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.5.1

将 $2 - x$ 设为等于 $0$ 。

$2 - x = 0$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

求解 $x$ 的 $2 - x = 0$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x = - 2$

解题步骤 5.2.3.2.5.2.2

将 $- x = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.3.2.5.2.2.1

将 $- x = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.3.2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.2.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.2.5.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.2.3.2.6

最终解为使 $(2 + x) (2 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 5.2.4

最终解为使 ${(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) | = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 2$

解题步骤 5.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 7

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = \frac{2 {(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{((- 3) - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f' (- 3) = \frac{2 {(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{((- 3) - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{2 \cdot 81 - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $2$ 乘以 $81$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{162 - 4 \cdot - 27 - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.4

将 $- 4$ 乘以 $- 27$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 8 \cdot 9 + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.6

将 $- 8$ 乘以 $9$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.7

将 $16$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.8

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.8.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 8 \cdot 9 + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.8.2

将 $- 8$ 乘以 $9$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 72 + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.8.3

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 72 + 81 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.9

从 $16$ 中减去 $72$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | - 56 + 81 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.10

将 $- 56$ 和 $81$ 相加。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 25 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.11

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $25$ 之间的距离为 $25$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - 1 \cdot 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.12

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.13

将 $162$ 和 $108$ 相加。

$f' (- 3) = \frac{270 - 72 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.14

从 $270$ 中减去 $72$ 。

$f' (- 3) = \frac{198 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.15

从 $198$ 中减去 $48$ 。

$f' (- 3) = \frac{150 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.2.16

从 $150$ 中减去 $25$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.3

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.3.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 (2 - (- 3)) |}$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 (2 + 3) |}$

解题步骤 7.2.3.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 \cdot 5 |}$

解题步骤 7.2.3.5

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{125}{25 | - 1 \cdot 5 |}$

解题步骤 7.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{25 | - 5 |}$

解题步骤 7.2.3.7

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 5$ 和 $0$ 之间的距离为 $5$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{25 \cdot 5}$

解题步骤 7.2.4

化简表达式。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$f' (- 3) = \frac{125}{125}$

解题步骤 7.2.4.2

用 $125$ 除以 $125$ 。

$f' (- 3) = 1$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7.3

在 $x = - 3$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(- 2, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{2 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |}{{((0) - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

去掉圆括号。

$f' (0) = \frac{2 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |}{{((0) - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{2 \cdot 0 - 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0 + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.6

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.7

将 $16$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.8

化简每一项。

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解题步骤 8.2.2.8.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.8.2

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.8.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 + 0 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.9

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.10

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.11

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $16$ 之间的距离为 $16$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - 1 \cdot 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.12

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.15

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.2.16

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$f' (0) = \frac{- 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.3

化简分母。

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解题步骤 8.2.3.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 (2 - (0)) |}$

解题步骤 8.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 (2 + 0) |}$

解题步骤 8.2.3.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 \cdot 2 |}$

解题步骤 8.2.3.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0) = \frac{- 16}{4 | 2 \cdot 2 |}$

解题步骤 8.2.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (0) = \frac{- 16}{4 | 4 |}$

解题步骤 8.2.3.7

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$f' (0) = \frac{- 16}{4 \cdot 4}$

解题步骤 8.2.4

化简表达式。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (0) = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 8.2.4.2

用 $- 16$ 除以 $16$ 。

$f' (0) = - 1$

解题步骤 8.2.5

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- 1$ 。由于其值为负，函数在 $(- 2, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, 2)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = \frac{2 {(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 8 {(3)}^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 {(3)}^{2} + {(3)}^{4} |}{{((3) - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

去掉圆括号。

$f' (3) = \frac{2 {(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 8 {(3)}^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 {(3)}^{2} + {(3)}^{4} |}{{((3) - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{2 \cdot 81 - 4 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $2$ 乘以 $81$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 4 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{162 - 4 \cdot 27 - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.4

将 $- 4$ 乘以 $27$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 8 \cdot 9 + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.6

将 $- 8$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.7

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.8

化简每一项。

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解题步骤 9.2.2.8.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 8 \cdot 9 + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.8.2

将 $- 8$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 72 + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.8.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 72 + 81 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.9

从 $16$ 中减去 $72$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | - 56 + 81 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.10

将 $- 56$ 和 $81$ 相加。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 25 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.11

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $25$ 之间的距离为 $25$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - 1 \cdot 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.12

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.13

从 $162$ 中减去 $108$ 。

$f' (3) = \frac{54 - 72 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.14

从 $54$ 中减去 $72$ 。

$f' (3) = \frac{- 18 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.15

将 $- 18$ 和 $48$ 相加。

$f' (3) = \frac{30 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.2.16

从 $30$ 中减去 $25$ 。

$f' (3) = \frac{5}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.3

化简分母。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 (2 - (3)) |}$

解题步骤 9.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 (2 - 3) |}$

解题步骤 9.2.3.4

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 \cdot - 1 |}$

解题步骤 9.2.3.5

一的任意次幂都为一。

$f' (3) = \frac{5}{1 | 5 \cdot - 1 |}$

解题步骤 9.2.3.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (3) = \frac{5}{1 | - 5 |}$

解题步骤 9.2.3.7

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 5$ 和 $0$ 之间的距离为 $5$ 。

$f' (3) = \frac{5}{1 \cdot 5}$

解题步骤 9.2.3.8

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (3) = \frac{5}{5}$

解题步骤 9.2.4

用 $5$ 除以 $5$ 。

$f' (3) = 1$

解题步骤 9.2.5

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 9.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

递减于： $(- 2, 2)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例