微积分学示例

$\cos (t) + t \sin (t)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\cos (t) + t \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [t \sin (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [t \sin (t)]$

解题步骤 2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t) + \frac{d}{d t} [t \sin (t)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [t \sin (t)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = \sin (t)$ 。

$- \sin (t) + t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$- \sin (t) + t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (t) + t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (t) + t \cos (t) + \sin (t)$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

将 $- \sin (t)$ 和 $\sin (t)$ 相加。

$t \cos (t) + 0$

解题步骤 4.2

将 $t \cos (t)$ 和 $0$ 相加。

$t \cos (t)$

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