微积分学示例

$\frac{4 t}{\sqrt[3]{t^{2} + 3}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t^{2} + 3}$ 重写成 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.3

将 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (t) = t^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{2} + 3$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3

使用 $t^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{{(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $t$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $t^{2} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 12

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.4

组合 $\frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $t$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t \cdot t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{1 + 1}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19

要将 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 20

组合 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 22

通过指数相加将 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 22.1

移动 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 22.3

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 22.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 22.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 23

化简 ${(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3$ 。

$4 \frac{\frac{(t^{2} + 3) \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 24

将 $3$ 移到 $t^{2} + 3$ 的左侧。

$4 \frac{\frac{3 \cdot (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 25

将 $\frac{\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$4 (\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 26

将 $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 27

通过指数相加将 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 27.1

移动 ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 ({(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 27.3

在公分母上合并分子。

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 27.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 28

组合 $4$ 和 $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{4 (3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29

化简。

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解题步骤 29.1

运用分配律。

$\frac{4 (3 t^{2} + 3 \cdot 3 - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.2

运用分配律。

$\frac{4 (3 t^{2}) + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.3

化简分子。

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解题步骤 29.3.1

化简每一项。

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解题步骤 29.3.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 t^{2} + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.3.1.2

乘以 $4 (3 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 29.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 t^{2} + 4 \cdot 9 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{12 t^{2} + 36 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 t^{2} + 36 - 8 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.3.2

从 $12 t^{2}$ 中减去 $8 t^{2}$ 。

$\frac{4 t^{2} + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.4

从 $4 t^{2} + 36$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 29.4.1

从 $4 t^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (t^{2}) + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.4.2

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 t^{2} + 4 \cdot 9}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 29.4.3

从 $4 t^{2} + 4 \cdot 9$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (t^{2} + 9)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

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