微积分学示例

$\sqrt[3]{x^{2}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt[3]{y^{2}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{y^{2}} = x$ 。

$\sqrt[3]{y^{2}} = x$

解题步骤 2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y^{2}}$ 重写成 $y^{\frac{2}{3}}$ 。

${(y^{\frac{2}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

将 ${(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = x^{3}$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{3}}$

解题步骤 2.4.2

化简 $\pm \sqrt{x^{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{x^{2} x}$

解题步骤 2.4.2.2

从根式下提出各项。

$y = \pm x \sqrt{x}$

解题步骤 2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = x \sqrt{x}$

解题步骤 2.4.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - x \sqrt{x}$

解题步骤 2.4.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 和 $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $x \sqrt{x}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 4.3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ 的定义域为 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ 的值域又为 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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