微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (x)}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$1 - \ln (x) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \ln (x) = - 1$

解题步骤 3.3.2

将 $- \ln (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \ln (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\ln (x) = 1$

解题步骤 3.3.3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

解题步骤 3.3.4

使用对数的定义将 $\ln (x) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{1} = x$

解题步骤 3.3.5

将方程重写为 $x = e^{1}$ 。

$x = e$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $e$ 。

$e$

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 5.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

解题步骤 7

排除不在定义域中的区间。

$(0, e)$

解题步骤 8

将区间 $(0, e)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.35914085$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

对 $1.35914085$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

解题步骤 8.2.2

使用近似值替换 $e$ 。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

解题步骤 8.2.3

$1.35914085$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $0.30685277$ 。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

解题步骤 8.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0.30685277$ 。

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

解题步骤 8.2.5

从 $1$ 中减去 $0.30685277$ 。

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

解题步骤 8.2.6

用 $0.69314722$ 除以 $1.84726385$ 。

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

解题步骤 8.2.7

最终答案为 $0.37522914$ 。

$0.37522914$

解题步骤 8.3

在 $x = 1.35914085$ 处，导数为 $0.37522914$ 。由于其值为正，函数在 $(0, e)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, e)$ 上递增

解题步骤 9

排除不在定义域中的区间。

$(0, e), (e, \infty)$

解题步骤 10

将区间 $(e, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $3.7182817$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

对 $3.7182817$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

解题步骤 10.2.2

使用近似值替换 $e$ 。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

解题步骤 10.2.3

$3.7182817$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $1.31326165$ 。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

解题步骤 10.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1.31326165$ 。

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

解题步骤 10.2.5

从 $1$ 中减去 $1.31326165$ 。

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

解题步骤 10.2.6

用 $- 0.31326165$ 除以 $13.8256188$ 。

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

解题步骤 10.2.7

最终答案为 $- 0.02265805$ 。

$- 0.02265805$

解题步骤 10.3

在 $x = 3.7182817$ 处，导数为 $- 0.02265805$ 。由于其值为负，函数在 $(e, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(e, \infty)$ 上递减

解题步骤 11

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(0, e)$

递减于： $(e, \infty)$

解题步骤 12

微积分学 示例

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