微积分学示例

$- 3 x^{2} + 12 y^{2} = 84$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3 x^{2}$ 。

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$

解题步骤 2

将 $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

用 $84$ 除以 $12$ 。

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{12}$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $3$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{2} = 7 + \frac{3 (x^{2})}{12}$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y^{2} = 7 + \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$ 。

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解题步骤 4.1

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 4.2

组合 $7$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4 + x^{2}}{4}}$

解题步骤 4.4

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{28 + x^{2}}{4}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{28 + x^{2}}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 $28 + x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{4}}$

解题步骤 4.5.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 4.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})}$

解题步骤 4.6

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{28 + x^{2}}$

解题步骤 4.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{28 + x^{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

解题步骤 6

将 $\sqrt{28 + x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$28 + x^{2} \geq 0$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

从不等式两边同时减去 $28$ 。

$x^{2} \geq - 28$

解题步骤 7.2

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 8

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 9

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

集合符号：

${y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

解题步骤 10

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty), {y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

解题步骤 11

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