微积分学示例

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

解题步骤 1

函数 $f$ 在特定区间 $[a, b]$ 上的均方根 (RMS) 是原始值平方的算术平均值（平均数）的平方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

解题步骤 2

将实际值代入公式中以求函数的均方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

解题步骤 3

计算积分。

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解题步骤 3.1

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 3.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3.6

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.6.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.6.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 3.6.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

解题步骤 3.6.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u_{lower} = - 4$

解题步骤 3.6.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

解题步骤 3.6.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 3.6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 3.6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 3.7

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 3.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

解题步骤 3.9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

解题步骤 3.10

代入并化简。

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解题步骤 3.10.1

计算 $x$ 在 $4$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

解题步骤 3.10.2

计算 $\sin (u)$ 在 $8$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

解题步骤 3.10.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.1.1.1

计算 $\sin (8)$ 。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

解题步骤 3.11.1.1.2

计算 $\sin (- 4)$ 。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

解题步骤 3.11.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0.75680249$ 。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

解题步骤 3.11.1.2

从 $0.98935824$ 中减去 $0.75680249$ 。

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

解题步骤 3.11.1.3

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ 。

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解题步骤 3.11.1.3.1

将 $0.23255575$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 3.11.1.3.2

组合 $- 0.23255575$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

解题步骤 3.11.1.4

用 $- 0.23255575$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

解题步骤 3.11.2

从 $6$ 中减去 $0.11627787$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

解题步骤 3.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $5.88372212$ 。

$\frac{5.88372212}{2}$

解题步骤 3.11.4

用 $5.88372212$ 除以 $2$ 。

$2.94186106$

解题步骤 4

化简均方根公式。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{4 + 2}$ 和 $2.94186106$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

解题步骤 4.2.2

用 $2.94186106$ 除以 $6$ 。

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

小数形式：

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$

微积分学 示例

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