微积分学示例

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

解题步骤 1

函数 $f$ 在特定区间 $[a, b]$ 上的均方根 (RMS) 是原始值平方的算术平均值（平均数）的平方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

解题步骤 2

将实际值代入公式中以求函数的均方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

解题步骤 3

计算积分。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

解题步骤 3.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $x^{8}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{9} x^{9}$ 。

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

解题步骤 3.3

代入并化简。

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解题步骤 3.3.1

计算 $\frac{1}{9} x^{9}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

解题步骤 3.3.2.3

对 $- 1$ 进行 $9$ 次方运算。

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

解题步骤 3.3.2.5

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

解题步骤 3.3.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 1}{9}$

解题步骤 3.3.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{9}$

解题步骤 4

化简均方根公式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{1 + 1}$ 乘以 $\frac{2}{9}$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

解题步骤 4.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2}{2 \cdot 9}$ 。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 4.6

化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 4.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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