微积分学示例

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1 - t^{2}} d t$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1^{2} - t^{2}} d t]$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

约去 $1 - t$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

解题步骤 2.2

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

解题步骤 3

因为 $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ 对 $x$ 的导数是 $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- x^{- 2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 6.2

重新排序 $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ 的因式。

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$

解题步骤 6.3

组合 $- \frac{1}{x^{2}}$ 和 $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ 。

$- \frac{\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t}{x^{2}}$

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