微积分学示例

$\frac{1}{3 x^{2}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{3 x^{2}} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{3 x^{2}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $d$ 和 $\frac{1}{3 x^{2}}$ 。

$\int \frac{d}{3 x^{2}} \cdot x d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{d}{3 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{d x}{3 x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $d x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x d}{3 x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x d}{x (3 x)} d x$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x d}{x (3 x)} d x$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{d}{3 x} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{d}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{d}{3}$ 移到积分外。

$\frac{d}{3} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{d}{3} (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

将 $\frac{d}{3} (\ln (| x |) + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} d \ln (| x |) + C$ 。

$\frac{1}{3} d \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot (d x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d \ln (| x |) + C$

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