微积分学示例

$x^{3} \sin (x)$

解题步骤 1

将 $x^{3} \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} \sin (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{3} \sin (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x$

解题步骤 5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x)$

解题步骤 7

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x)$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x))$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x)$

解题步骤 11

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x))$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x))$

解题步骤 13.2

将 $\int \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x))$

解题步骤 14

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$

解题步骤 15

将 $x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$ 重写为 $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$ 。

$- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = x^{3} \sin (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$

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