微积分学示例

$36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

解题步骤 1

将 $36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ 书写为一个函数。

$f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 36 e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 5

由于 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $36$ 移到积分外。

$36 \int e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = - 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = - 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$36 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$36 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$36 \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$36 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 9

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$- 36 \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- 36 (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 36$ 。

$\frac{- 36}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11.2

约去 $- 36$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 9}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 9}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11.2.2.4

用 $- 9$ 除以 $1$ 。

$- 9 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 12

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 13

由于 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

解题步骤 14

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 14.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 14.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 14.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将负号移到分数的前面。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 15.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 16

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int 4 d x$

解题步骤 17

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 18

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 24$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 24}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 19.2

约去 $- 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 19.2.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 19.2.2.2

约去公因数。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 19.2.2.3

重写表达式。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 12}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 19.2.2.4

用 $- 12$ 除以 $1$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

解题步骤 20

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

解题步骤 21

应用常数不变法则。

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

解题步骤 22

化简。

$- 9 e^{u_{1}} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

解题步骤 23

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 23.1

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

解题步骤 23.2

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

解题步骤 24

答案是函数 $f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

微积分学 示例

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