微积分学示例

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

解题步骤 4

使用根数乘积法则进行合并。

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

解题步骤 5

配方。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 $x$ 。

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

解题步骤 5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

解题步骤 5.1.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{2} + 15 x$

解题步骤 5.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

解题步骤 5.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.4.2

约去 $15$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

从 $2 \cdot 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

解题步骤 5.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1.1

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

解题步骤 5.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$e = 0 - \frac{225}{20}$

解题步骤 5.5.2.1.3

约去 $225$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.3.1

从 $225$ 中分解出因数 $5$ 。

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

解题步骤 5.5.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.3.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{45}{4}$

解题步骤 5.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{45}{4}$ 。

$e = - \frac{45}{4}$

解题步骤 5.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ 。

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

解题步骤 6

使 $u = x + \frac{3}{2}$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + \frac{3}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + \frac{3}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + \frac{3}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

解题步骤 6.1.4

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

从 $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $5 u^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

解题步骤 7.1.2

从 $- \frac{45}{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

解题步骤 7.1.3

从 $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

解题步骤 7.2

将 $\frac{9}{4}$ 重写为 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 。

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

解题步骤 8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = \frac{3}{2}$ 。

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 9

要将 $u$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

组合 $u$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 10.2

在公分母上合并分子。

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 11

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 12

要将 $u$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 13

化简项。

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解题步骤 13.1

组合 $u$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

解题步骤 13.2

在公分母上合并分子。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

解题步骤 14

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

解题步骤 15

合并指数。

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解题步骤 15.1

组合 $5$ 和 $\frac{2 u + 3}{2}$ 。

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

解题步骤 15.2

将 $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ 乘以 $\frac{2 u - 3}{2}$ 。

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

解题步骤 15.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

解题步骤 16

将 $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ 。

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解题步骤 16.1

从 $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

解题步骤 16.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

解题步骤 16.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ 。

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

解题步骤 17.3

运用分配律。

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

解题步骤 17.4

乘。

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解题步骤 17.4.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

解题步骤 17.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

解题步骤 18

使用 FOIL 方法展开 $(10 u + 15) (2 u - 3)$ 。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

解题步骤 18.3

运用分配律。

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19.1.2

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 19.1.2.1

移动 $u$ 。

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19.1.2.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19.1.3

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19.1.4

将 $- 3$ 乘以 $10$ 。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19.1.5

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

解题步骤 19.1.6

将 $15$ 乘以 $- 3$ 。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

解题步骤 19.2

将 $- 30 u$ 和 $30 u$ 相加。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

解题步骤 19.3

将 $20 u^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

解题步骤 20

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

解题步骤 21

使 $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 为正数。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22

化简项。

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解题步骤 22.1

化简 $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ 。

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解题步骤 22.1.1

化简每一项。

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解题步骤 22.1.1.1

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 22.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3.5

计算指数。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.5

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 22.1.1.6.1

对 $\frac{3 \sec (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.6.2

对 $3 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.1.9.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.9.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.9.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.10

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.2

从 $45 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $45$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.3

从 $- 45$ 中分解出因数 $45$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.4

从 $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ 中分解出因数 $45$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.5

使用勾股恒等式。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.6

将 $45 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 22.1.6.1

从 $45$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.6.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.6.3

移动 $5$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.6.4

将 $3^{2} \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.7

从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 22.2

化简。

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解题步骤 22.2.1

组合 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.3

组合 $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.4

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.5

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

解题步骤 22.2.8

组合 $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ 和 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

解题步骤 23

由于 $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

将 $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 24.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 25

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 26

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 27

化简项。

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解题步骤 27.1

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 27.2

化简每一项。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 28

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 29

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 30

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 31

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 32

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 33

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 34

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 35

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 36

化简表达式。

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解题步骤 36.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 36.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 37

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 38

通过相乘进行化简。

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解题步骤 38.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 38.2

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 38.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 39

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 40

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 41

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 42

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 43

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 44

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 45

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 46

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 47

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 48

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 49

通过相乘进行化简。

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解题步骤 49.1

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 49.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 50

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 51

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 52

化简。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 53

化简。

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解题步骤 53.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 53.2

将 $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 和 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 相加。

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 53.3

将 $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ 乘以 $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ 。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 53.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

解题步骤 54

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 54.1

使用 $arcsec (\frac{2 u}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 54.2

使用 $x + \frac{3}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55

化简。

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解题步骤 55.1

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 55.2.1

约去公因数。

解题步骤 55.2.2

重写表达式。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.3

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 55.4.1

约去公因数。

解题步骤 55.4.2

重写表达式。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.5

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 55.6.1

约去公因数。

解题步骤 55.6.2

重写表达式。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.7

运用分配律。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 55.8.1

约去公因数。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 55.8.2

重写表达式。

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

解题步骤 56

重新排序项。

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

解题步骤 57

答案是函数 $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

微积分学 示例

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