微积分学示例

$3^{x + 1} d x$

解题步骤 1

将 $3^{x + 1} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

解题步骤 4

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int 3^{x + 1} x d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = 3^{x + 1}$ 。

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{\ln (3)}$ 和 $3^{x + 1}$ 。

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ 。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{\ln (3)}$ 和 $3^{x + 1}$ 。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{\ln (3)}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (3)}$ 移到积分外。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

解题步骤 8

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

解题步骤 9

$3^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

将 $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ 重写为 $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ 。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

要将 $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ 。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\ln^{2} (3)$ 的形式。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ 乘以 $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ 。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2.2.2

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2.2.3

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

解题步骤 10.2.3

在公分母上合并分子。

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

解题步骤 10.2.4

组合 $d$ 和 $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ 。

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

解题步骤 11

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 3^{x + 1} d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

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