微积分学示例

$\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{27}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{27}$ 移到积分外。

$\frac{1}{27} \int {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 x^{2} + 6)}^{3}} d x$

解题步骤 6

使 $x = \frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ 为正数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

化简 $\sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

组合 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3})}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.1.1.2.1

对 $\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.2.2

对 $\sqrt{6} \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{1} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.3.5

计算指数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.5

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 7.1.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{1})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.1.6.5

计算指数。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.2

从 $6 \tan^{2} (t) + 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $6 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.2.3

从 $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t) + 1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.3

使用勾股恒等式。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.4

对 $6 \sec^{2} (t)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{3} {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.5

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.6

将 ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {\sec (t)}^{2 \cdot 3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.7

将 $216 \sec^{6} (t)$ 重写为 ${(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.1.7.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{36 (6) \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.7.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.7.3

将 $\sec^{6} (t)$ 重写为 ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 {(\sec^{3} (t))}^{2}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.7.4

移动 $6$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.7.5

将 $6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2}$ 重写为 ${(6 \sec^{3} (t))}^{2}$ 。

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.1.8

从根式下提出各项。

$\frac{1}{27} \int 6 \sec^{3} (t) \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ 和 $6$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3} \sec^{3} (t) \sqrt{6} d t$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3}$ 和 $\sec^{3} (t)$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6 \sec^{3} (t)}{3} \sqrt{6} d t$

解题步骤 7.2.3

通过指数相加将 $\sec^{2} (t)$ 乘以 $\sec^{3} (t)$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

移动 $\sec^{3} (t)$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} (\sec^{3} (t) \sec^{2} (t)) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

解题步骤 7.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} {\sec (t)}^{3 + 2} \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

解题步骤 7.2.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

解题步骤 7.2.4

组合 $\frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3}$ 和 $\sqrt{6}$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6 \sqrt{6}}{3} d t$

解题步骤 7.2.5

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} d t$

解题步骤 7.2.6

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} d t$

解题步骤 7.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} d t$

解题步骤 7.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

解题步骤 7.2.9

将 $6$ 移到 $\sec^{5} (t)$ 的左侧。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \cdot \sec^{5} (t) {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

解题步骤 7.2.10

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 7.2.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} d t$

解题步骤 7.2.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} d t$

解题步骤 7.2.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

解题步骤 7.2.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.10.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

解题步骤 7.2.10.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{1}}{3} d t$

解题步骤 7.2.10.5

计算指数。

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} d t$

解题步骤 7.2.11

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{36 \sec^{5} (t)}{3} d t$

解题步骤 7.2.12

约去 $36$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.12.1

从 $36 \sec^{5} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3} d t$

解题步骤 7.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 (1)} d t$

解题步骤 7.2.12.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 \cdot 1} d t$

解题步骤 7.2.12.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{27} \int \frac{12 \sec^{5} (t)}{1} d t$

解题步骤 7.2.12.2.4

用 $12 \sec^{5} (t)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{27} \int 12 \sec^{5} (t) d t$

解题步骤 8

由于 $12$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$\frac{1}{27} (12 \int \sec^{5} (t) d t)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $12$ 和 $\frac{1}{27}$ 。

$\frac{12}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

解题步骤 9.2

约去 $12$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4)}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{9} \int \sec^{5} (t) d t$

解题步骤 10

应用归约公式。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 11

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 12

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t))$

解题步骤 13

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t))$

解题步骤 14

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t))$

解题步骤 15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

解题步骤 16

化简表达式。

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解题步骤 16.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t))$

解题步骤 16.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t))$

解题步骤 17

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t))$

解题步骤 18

通过相乘进行化简。

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解题步骤 18.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t))$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

解题步骤 18.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

解题步骤 19

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t))$

解题步骤 20

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t))$

解题步骤 21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

解题步骤 22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t))$

解题步骤 23

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t))$

解题步骤 24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t))$

解题步骤 25

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 26

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

解题步骤 27

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

解题步骤 28

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)))$

解题步骤 29

通过相乘进行化简。

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解题步骤 29.1

运用分配律。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 29.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 30

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C))$

解题步骤 31

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C))$

解题步骤 32

化简。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

解题步骤 33

化简。

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解题步骤 33.1

要将 $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

解题步骤 33.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 33.2.1

将 $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

解题步骤 33.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

解题步骤 33.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2 + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

解题步骤 33.4

将 $2$ 移到 $\tan (t) \sec^{3} (t)$ 的左侧。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot (\tan (t) \sec^{3} (t)) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

解题步骤 33.5

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}$ 。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{9 \cdot 8} + C$

解题步骤 33.6

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{72} + C$

解题步骤 33.7

约去公因数。

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解题步骤 33.7.1

从 $72$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

解题步骤 33.7.2

约去公因数。

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

解题步骤 33.7.3

重写表达式。

$\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{18} + C$

解题步骤 34

使用 $\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{2 \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \sec^{3} (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) |))}{18} + C$

解题步骤 35

重新排序项。

$\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

解题步骤 36

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

微积分学 示例

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