微积分学示例

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

解题步骤 1

将 $e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{x} (- x^{3} + 3 x) d x + \int - 3 d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = - x^{3} + 3 x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (- 3 x^{2} + 3) d x + \int - 3 d x$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = - 3 x^{2} + 3$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - \int e^{x} (- 6 x) d x) + \int - 3 d x$

解题步骤 7

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - (- 6 \int e^{x} (x) d x)) + \int - 3 d x$

解题步骤 8

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 \int e^{x} (x) d x) + \int - 3 d x$

解题步骤 9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - \int e^{x} d x)) + \int - 3 d x$

解题步骤 10

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) + \int - 3 d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) - 3 x + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$- x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

解题步骤 12.2

从 $3 x e^{x}$ 中减去 $6 x e^{x}$ 。

$- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

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