微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sqrt{x}} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $d$ 和 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 。

$\int \frac{d}{\sqrt{x}} \cdot x d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{d}{\sqrt{x}}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{d x}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$d \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$d \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$d \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.3

在公分母上合并分子。

$d \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$d \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$d (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $d (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $d$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{d \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 移到 $d$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3

组合 $\frac{2 d}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{2}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (d x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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