微积分学示例

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

解题步骤 1

将 $3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 1 - 2 x$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $- 2$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

解题步骤 6.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 6.5

将负号移到分数的前面。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ 乘以 $1$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{4}{3}$ 移到积分外。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 11.2

将 $3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ 重写为 $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

要将 $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 11.3.2.1

将 $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3.2.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3.3

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3.4

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3.5

将 $- 20 x^{\frac{5}{2}}$ 和 $8 x^{\frac{5}{2}}$ 相加。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 11.3.6

从 $- 12 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

解题步骤 11.3.7

约去公因数。

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解题步骤 11.3.7.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

解题步骤 11.3.7.2

约去公因数。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

解题步骤 11.3.7.3

重写表达式。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.3.8

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.4

化简。

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解题步骤 11.4.1

运用分配律。

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.2.1

约去公因数。

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.4.2.2

重写表达式。

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.4.3

乘以 $3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ 。

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解题步骤 11.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 11.4.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

解题步骤 11.4.3.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 11.4.4

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

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