微积分学示例

$\frac{5}{9 x^{2} + 36}$

解题步骤 1

将 $\frac{5}{9 x^{2} + 36}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{5}{9 x^{2} + 36} d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 36} d x$

解题步骤 5

将 $9 x^{2}$ 和 $36$ 重新排序。

$5 \int \frac{1}{36 + 9 x^{2}} d x$

解题步骤 6

从 $36 + 9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 6.1

从 $36$ 中分解出因数 $9$ 。

$5 \int \frac{1}{9 \cdot 4 + 9 x^{2}} d x$

解题步骤 6.2

从 $9 \cdot 4$ 中分解出因数 $9$ 。

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 x^{2}} d x$

解题步骤 6.3

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 (x^{2})} d x$

解题步骤 6.4

从 $9 (4) + 9 (x^{2})$ 中分解出因数 $9$ 。

$5 \int \frac{1}{9 (4 + x^{2})} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ 。

$\frac{5}{9} (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

解题步骤 10.2

将 $\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ 重写为 $\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ 。

$\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{5}{9}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 10.3.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

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