微积分学示例

$2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$

解题步骤 1

将 $2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int e^{x} d x + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 (e^{x} + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 9

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$2 e^{x} + \sec (x) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 e^{x} + \sec (x) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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