微积分学示例

$\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

解题步骤 1

将 $\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \tan^{9} (x) \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\int \tan^{9} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

解题步骤 4.2

将 ${\sec (x)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$\int \tan^{9} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$\int \tan^{9} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 6

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{9} (1 + u^{2}) d u$

解题步骤 7

乘以 $u^{9} (1 + u^{2})$ 。

$\int u^{9} \cdot 1 + u^{9} u^{2} d u$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $u^{9}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

解题步骤 8.2

通过指数相加将 $u^{9}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{9} + u^{9 + 2} d u$

解题步骤 8.2.2

将 $9$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{9} + u^{11} d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{9} d u + \int u^{11} d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int u^{11} d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{11}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{12} u^{12}$ 。

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \frac{1}{12} u^{12} + C$

解题步骤 12

化简。

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{1}{12} u^{12} + C$

解题步骤 13

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

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