微积分学示例

${(6 x + 5)}^{2} d x$

解题步骤 1

将 ${(6 x + 5)}^{2} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

解题步骤 4

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

解题步骤 5

使 $u = 6 x + 5$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 6 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $6 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $6 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$6$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $u^{2}$ 。

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

解题步骤 7.2

将 $\frac{u^{2}}{6}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

解题步骤 7.3

将 $\frac{u^{2}}{6}$ 乘以 $\frac{u}{6}$ 。

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

解题步骤 7.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

解题步骤 7.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

解题步骤 7.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

解题步骤 7.7

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

解题步骤 7.8

组合 $- 1 \frac{u^{2}}{6}$ 和 $\frac{5}{6}$ 。

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

解题步骤 7.9

组合 $\frac{u^{2}}{6}$ 和 $5$ 。

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $5$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

解题步骤 8.2

将 $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ 重写为 $- \frac{5 u^{2}}{6}$ 。

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

解题步骤 8.3

将 $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ 重写为乘积形式。

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

解题步骤 8.4

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{5 u^{2}}{6}$ 。

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

解题步骤 8.5

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{36}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{36}$ 移到积分外。

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

解题步骤 14

由于 $\frac{5}{36}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{36}$ 移到积分外。

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

解题步骤 15

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

解题步骤 16.2

化简。

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

解题步骤 17

使用 $6 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

微积分学 示例

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